Τριγωνομετρική ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει ότι:

$\displaystyle{\left ( \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} \right )^2 + \left ( \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} \right )^2 + \left ( \sin \frac{C}{2} + \sin \frac{A}{2} \right )^2 \leq 3}$

#2

Η ανισότητα αυτή σίγουρα δεν είναι κατάλληλη για το επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη.

Ουσιαστικά πρόκειται για μια μορφή της ανισότητας Walker, σύμφωνα με την οποία σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει

$\displaystyle{s^2\geq 2R^2+8Rr+3r^2.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

Αυτό γίνεται φανερό αν πρώτα παρατηρήσουμε ότι η αρχική είναι συνέπεια της

$\displaystyle{(\cos A+\cos B)^2+(\cos B+\cos C)^2+(\cos C+\cos A)^2\leq 3}$ σε μη αμβλυγώνια τρίγωνα. ( $\displaystyle{\color{red}\clubsuit}$ )

Τώρα η ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ) προκύπτει με χρήση των τύπων για τα $\displaystyle{\sum \cos ^2A, \sum \cos A\cos B}$ .

Ας δούμε μια γουστόζικη απόδειξη της ( $\displaystyle{\color{red}\clubsuit}$ ):

Από Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{(a\cos B+b\cos A)\left(\frac{\cos B}{a}+\frac{\cos A}{b}\right)\geq (\cos A+\cos B)^2}$

άρα

$\displaystyle{(\cos A+\cos B)^2\leq c\left(\frac{\cos B}{a}+\frac{\cos A}{b}\right)}$ .

Επομένως είναι

$\displaystyle{(\cos A+\cos B)^2+(\cos B+\cos C)^2+(\cos C+\cos A)^2\leq }$

$\displaystyle{\leq \frac{c\cos B}{a}+\frac{c\cos A}{b}+\frac{b\cos A}{c}+\frac{b\cos C}{a}+\frac{a\cos B}{c}+\frac{a\cos C}{b}=3.}$

Τόλη, θα ήθελα να δω από που είναι αυτή η ανισότητα και από ποια απόδειξη συνοδεύεται.

Tolaso J Kos · #3

Η λύση που είδα για αυτή την ανισότητα...

Αν δηλώσουμε με

την ημιπερίμετρο τότε από το νόμο συνημιτόνων έχουμε:

$\displaystyle{\begin{equation*} \sin^2 \frac{C}{2} = \frac{\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )}{ab} \tag{1} \end{equation*}}$ $\displaystyle{\begin{equation*} \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}{bc} \tag{2} \end{equation*}}$ $\displaystyle{\begin{equation*} \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{\left ( s-a \right )\left ( s-c \right )}{ac} \tag{3} \end{equation*}}$
Οπότε από την ανισότητα Cauchy έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} \right )^2 &= \frac{s-c}{c} \left ( \sqrt{s-b} \cdot \frac{1}{\sqrt{b}} +\sqrt{s-a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} \right )^2 \\ &\leq \frac{s-c}{c} \cdot \left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right )\cdot \left ( s-a+s-b \right ) \\ &= \frac{\left ( a+b-c \right )\left ( a+b \right )c}{2abc}\\ &= \frac{\left ( a^2+b^2 \right )c -c^2\left ( a+b \right ) +2abc}{2abc} \\ &= 1 + \frac{\left ( a^2+b^2 \right )c -c^2\left ( a+b \right )}{2abc} \end{aligned}}$
και άρα

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum \left ( \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} \right )^2 &\leq 3 + \sum \frac{\left ( a^2+b^2 \right )c -c^2\left ( a+b \right )}{2abc} \\ &=3 + \frac{1}{2abc} \left ( \sum \left ( a^2+b^2 \right )c - \sum c^2 \left ( a+b \right ) \right ) \\ &= 3 \end{aligned}}$

Τριγωνομετρική ανισότητα

Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση