Σύστημα με μοναδική λύση!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6165
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Σύστημα με μοναδική λύση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}

να έχει μοναδική λύση στο \displaystyle{\mathbb{C}^3} την \displaystyle{(1,1,1).}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11090
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύστημα με μοναδική λύση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιουν 12, 2019 8:34 am

matha έγραψε:
Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}

να έχει μοναδική λύση στο \displaystyle{\mathbb{C}^3} την \displaystyle{(1,1,1).}
Απάντηση: n=3,4,5.

Επειδή η πληκτρολόγιση της γενικής περίπτωσης είναι επίπονη, κάνω συγκεκριμένη (αλλά εύκολα επεκτάσιμη) περίπτωση που όμως δείχνει την κατάσταση.

Για ευκολία γράφουμε x=1+X, y=1+Y, z=1+Z, οπότε έχουμε μοναδικότητα ή μη ανάλογα αν X=Y=Z=0 ή όχι.

Εύκολα βλέπουμε ότι οι δύο πρώτες εξισώσεις γίνονται X+Y+Z=0, X^2+Y^2+Z^2=0. Λύνοντας βρίσκουμε Y=wX, Z=w^2X ή ανάποδα, όπου w μιγαδική ρίζα της μονάδας. Παρακάτω θα γίνει χρήση της 1+w+w^2=0.

Ως προς την τρίτη εξίσωση έχουμε.

α) Οι περιπτώσεις n=1, n=2 είναι άμεσες, και τις αφήνω.

β) Για n=3. H τρίτη εξίσωση δίνει (1+X)^3+(1+wX)^2+(1+w^2X)=3, ισοδύναμα

3+3(1+w+w^2)X+ 3(1+w^2+w^4)X^2+(1+w^3+w^6)X^3=3 ή αλλιώς 3X^3=0. Άρα X=0 , από όπου X=Y=Z=0 (μοναδική λύση).

γ) Για n=4,n=5. Ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα και θα βρούμε ότι η τρίτη εξίσωση δίνει, αντίστοιχα, 12X^3=0 ή 30X^3=0 (οι συντελεστές των X^4, X^5 είναι μηδέν). Πάλι μοναδική λύση.

δ) Για n\ge 6 (το κάνω για n=6). Σε αυτή την περίπτωση όλοι οι συντελεστές των X^k είναι 0 πλην των X^3,X^6. Συγκεκριμένα θα βρούμε
60X^3+3X^6=0. Επειδή η εξίσωση αυτή έχει μη-μηδενική λύση, ας την πούμε X_0, βρίσκουμε μη μηδενική λύση (X,Y,Z)=(X_0, wX_0, w^2X_0) του αρχικού συστήματος. Άρα έχουμε μη μοναδική λύση.

Οι περιπτώσεις n>6 γίνονται όμοια: Από το ανάπτυγμα του δυωνύμου η τρίτη εξίσωση έχει όλους τους συντελεστές των X^k ίσους με 0 εκτός από τους κ=3,6,... που είναι θετικοί. Η εξίσωση που προκύπτει έχει μη μηδενική λύση στο \mathbb C, από όπου η μη μοναδικότητα της λύσης του αρχικού συστήματος.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύστημα με μοναδική λύση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιουν 12, 2019 5:58 pm

matha έγραψε:
Σάβ Ιουν 08, 2019 8:22 pm
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι \displaystyle{n}, ώστε το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=3, \\ x^2+y^2+z^2 =3, \\ x^n+y^n+z^n =3\end{cases}}

να έχει μοναδική λύση στο \displaystyle{\mathbb{C}^3} την \displaystyle{(1,1,1).}
Θα περιγράψω μια άλλη λύση.

Εύκολα βλέπουμε ότι τα x,y,z είναι ρίζες της εξίσωσης

t^{3}-3t^{2}+3t-k=0

Επίσης αν

S_{n}(k)=x^n+y^n+z^n

τότε
S_{n+3}(k)=3(S_{n+2}(k)-S_{n+1}(k))+kS_{n}(k)(1)

Στα παρακάτω αντί k θα βάζω x.


Εύκολα υπολογίζουμε ότι S_{3}(x)=3x,S_{4}(x)=12x-9,S_{5}(x)=30x-27

Θα δείξουμε επαγωγικά ότι

S_{3n}(x)=a_{3n}x^{n}+r_{3n}(x)

S_{3n+1}(x)=a_{3n+1}x^{n}+r_{3n+1}(x)

S_{3n+2}(x)=a_{3n+2}x^{n}+r_{3n+2}(x)

οπου
0<a_{3n}<a_{3n+1}<a_{3n+2}
και τα

r_{3n}(x),r_{3n+1}(x),r_{3n+2}(x)

πολυώνυμα βαθμού το πολύ n-1.

Χρησιμοποιώντας την (1) βρίσκουμε

a_{3(n+1)}=a_{3n},a_{3(n+1)+1}=3a_{3n}+a_{3n+1},a_{3(n+1)+2}=6a_{3n}+3a_{3n+1}+a_{3n+2}

και τα πολυώνυμα βαθμού το πολύ n.

Ετσι για n>5 το x δηλαδή το k παίρνει τιμές που είναι διαφορετικές του 1

για να είμαστε εντάξει πρέπει να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις που προκύπτουν
δεν εχουν μοναδική ρίζα το 1


Ετσι το σύστημα δεν έχει μοναδική ρίζα


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης