Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

Xriiiiistos · #1

και

δείξτε ότι

$(y+1)^{y}+\frac{(x+1)^{(x+2)^{x+1}}}{x}+\frac{z^{2}}{z+1}> \frac{17}{3}+x$

το x+2

είναι υψωμένο στο x+1

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Από Bernoulli έχουμε ότι:

${(x+1)^{(x+2)}}^{(x+1)}\geq x\cdot (x+2)^{(x+1)}+1\geq x((x+1)^2+1)+1$

Άρα αρκεί να αποδειχθεί ότι:

$(y+1)^y+(x+1)^2+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{z^2}{z+1}>\dfrac{17}{3}+x\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+2+x+\dfrac{1}{x}+z-1+\dfrac{1}{z+1}>\dfrac{17}{3}$

$\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+1+x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}>\dfrac{17}{3}+y\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}>\dfrac{17}{3}+y$

$\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}>y+\dfrac{2}{3}$ .

Είναι από Andreescu: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z+1}\geq \dfrac{4}{x+z+1}=\dfrac{4}{5-y}>\dfrac{4}{5}$

Άρα αρκεί να αποδειχθεί ότι $x^2+(y+1)^y+\dfrac{4}{5}>y+\dfrac{2}{3}$ ή $(y+1)^y>y\Leftrightarrow (y+1)^{(y+1)}>y(y+1)$

Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ξανά Bernoulli και έχουμε $(y+1)^{(y+1)}>(y+1)^2+1>y(y+1)$ .

Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

Re: Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

Μέλη σε σύνδεση