Εύρεση συνάρτησης

M.S.Vovos · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\left \{ 0,1,2,\ldots \right \}\longrightarrow \left \{ 0,1,2,\ldots \right \}$ , για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f\left ( n^{2}+m^{2} \right )=\left (f\left ( n \right ) \right )^{2}+\left (f\left ( m \right ) \right )^{2}}$ , για κάθε $n,m\in \left \{ 0,1,2,\ldots \right \}$ .

Η πηγή είναι από Crux.

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 24, 2019 12:48 am
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\left \{ 0,1,2,\ldots \right \}\longrightarrow \left \{ 0,1,2,\ldots \right \}$ , για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f\left ( n^{2}+m^{2} \right )=\left (f\left ( n \right ) \right )^{2}+\left (f\left ( m \right ) \right )^{2}}$ , για κάθε $n,m\in \left \{ 0,1,2,\ldots \right \}$ .

Μία λύση είναι η τετριμμένη f(n)=0

για κάθε

. Πέρα από αυτήν:

Για μικρές τιμές του

είναι

. Πράγματι, εύκολα βλέπουμε ότι f(0)=0, f(1)=1, f(2)=f(1^2+1^2) = ... = 2

και όμοια

,

, οπότε

.

Επίσης είναι άμεσο ότι f(n^2)=f(n)^2

.

Θα δείξουμε τώρα με ισχυρή επαγωγή ότι ισχύει f(n)=n

για όλα τα

.

Έστω ότι ισχύει αυτό μέχρι και τον f(2N)

. Τότε

$\displaystyle{(f(2N+1))^2=f((2N+1)^2) = f((2N+1)^2) + f((N-2)^2) - f((N-2)^2) = f((2N+1)^2 +(N-2)^2) - f((N-2)^2)= }$

$\displaystyle{= f(5N^2+5) - f((N-2)^2)= f((2N-1)^2 +(N+2)^2) - f((N-2))^2= (f(2N-1))^2 +(f(N+2))^2 - (f(N-2))^2= }$

$\displaystyle{ = (2N-1)^2+(N+2)^2-(N-2)^2= (2N+1)^2}$ ,

και άρα f(2N+1)=2N+1

.

Όμοια η f(2N+2)=2N+2

μέσω της $\displaystyle{(2N+2)^2= (2N-2)^2+(N+4)^2-(N-4)^2}$ . Και λοιπά.

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση