Συναρτησιακή εξίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 10, 2018 9:13 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοιες ώστε

f(x) \geq 0, για κάθε x\in\mathbb{R} και

f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)), για κάθε x,y\in\mathbb{R}


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 513
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Ιουν 10, 2018 10:27 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Ιουν 10, 2018 9:13 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοιες ώστε

f(x) \geq 0, για κάθε x\in\mathbb{R} και

f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)), για κάθε x,y\in\mathbb{R}
P(y-g(y),y) δίνει yg(y-g(y))=0 . Συνεπώς, αν y \neq 0 είναι σίγουρο ότι g(y-g(y))=0 . P(x, g(y-g(y))) με y \neq 0 δίνει ότι 2(y-g(y))g(x)=0. Αν g(x) = 0 τότε κάθε f με την ζητούμενη ιδιότητα ικανοποιεί. Διαφορετικά αν υπάρχει y=g(y) για y \neq 0 και εύκολα προκύπτει ότι και f(0)=0 . Συνεπώς, πρέπει f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. Θεωρούμε την συνάρτηση t(x)=f(x)-x^2 . Πρέπει t(x+y)=t(x)+t(y) και t(x) \ge -x^2. Συνεπώς, προκύπτει εύκολα ότι t(x) \ge -\dfrac{x^2}{2^n}. Αν όμως έχουμε το x σταθερό και το n \rightarrow ∞, τότε t(x) \ge 0. Συνεπώς, f(x) \ge x^2. H P(x,-x) δίνει 2x^2 \le f(x)+f(-x)=2x^2 . Άρα f(x)=x^2 που ικανοποιεί.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης