Σελίδα 1 από 1
Πολυώνυμο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
από socrates
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα
με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε
για κάθε
με
Re: Πολυώνυμο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 10, 2018 11:27 pm
από Mihalis_Lambrou
socrates έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα
με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε
για κάθε
με
Απάντηση: Τα πολυώνυμα
.
Για σταθερά πολυώνυμα,
, η δοθείσα γίνεται
, και άρα ως άνω. Για μη σταθερά είναι
με
.
Βάζοντας
στη αρχική έχουμε
Συγκρίνοντας τους συντελεστές του
στα δύο μέλη, παίρνουμε
Όμοια για
παίρνουμε
και άρα
Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις που βρήκαμε, έχουμε
.
Μία λύση είναι η
. Είναι μοναδική γιατί η προηγούμενη γράφεται
δηλαδή
ή
που εύκολα βλέπουμε ότι δεν μπορεί να ισχύει αν
.
Τελικά
και πίσω στην
παίρνουμε
. Και λοιπά.
Re: Πολυώνυμο
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 11, 2018 10:03 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
socrates έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα
με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε
για κάθε
με
Εχουμε για
Κρατώντας το
σταθερό και παραγωγίζοντας ως προς
παίρνουμε
Θεωρώντας τώρα το
σταθερό και υποθέτοντας ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι
έχουμε ότι το αριστερό μέλος της (1) έχει ως προς
βαθμό
.
Αλλά το δεξί μέλος της (1) έχει ως προς
βαθμό
.
Αρα
δηλαδή
.
Το πολυώνυμο λοιπόν είναι σταθερό η πρώτου βαθμού.
Σημείωση.Τα παραπάνω ισχύουν για πολυώνυμα πάνω σε οποιοδήποτε σώμα χαρακτηριστικής
.