Πολυώνυμο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P(x) με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)

για κάθε x,y,z\in \Bbb{R} με x+y+z=0


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10363
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 10, 2018 11:27 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P(x) με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)

για κάθε x,y,z\in \Bbb{R} με x+y+z=0
Απάντηση: Τα πολυώνυμα 0, \, 1, \, -1, \, x, \, -x.

Για σταθερά πολυώνυμα, p(x)=c, η δοθείσα γίνεται 3c^3=3c, και άρα ως άνω. Για μη σταθερά είναι p(x) = ax^n+... με a\ne 0, \, n\ge 1.

Βάζοντας x=2t, y=z=-t στη αρχική έχουμε

(a(2t)^n+... )^3 + (a(-t)^n+... )^3 + (a(-t)^n+... )^3 = 3 ( a(2t^3)^n+...)

Συγκρίνοντας τους συντελεστές του t^{3n} στα δύο μέλη, παίρνουμε a^3(8^n+2(-1)^{n}) = 3a2^n

Όμοια για x=3t, \, y=-2t, \, z=-t παίρνουμε

(a(3t)^n+... )^3 + (a(-2t)^n+... )^3 + (a(-t)^n+... )^3 = 3 ( a(6t^3)^n+...) και άρα a^3(27^n+(-8)^{n} +(-1)^n) = 3a6^n

Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις που βρήκαμε, έχουμε (27^n+(-8)^{n} +(-1)^n)2^n= (8^n+2(-1)^{n})6^n .

Μία λύση είναι η n=1. Είναι μοναδική γιατί η προηγούμενη γράφεται

6^n(9^n-8^n) = -((-8)^{n} +(-1)^n)2^n+ 2(-1)^{n})6^n δηλαδή

6^n(9^{n-1}+...+8^{n-1})=  -((-8)^{n} +(-1)^n)2^n+ 2(-1)^{n})6^n\le  (8^{n} +1)2^n+ 2\cdot6^n ή

(9^{n-1}+...+8^{n-1}-2)3^n \le 8\cdot 8^{n-1} +1 που εύκολα βλέπουμε ότι δεν μπορεί να ισχύει αν n\ge 2.

Τελικά n=1 και πίσω στην a^3(8^n+2(-1)^{n}) = 3a2^n παίρνουμε a^3=a. Και λοιπά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1951
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιουν 11, 2018 10:03 am

socrates έγραψε:
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P(x) με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)

για κάθε x,y,z\in \Bbb{R} με x+y+z=0
Εχουμε για x,y\in \Bbb{R}

\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(-x-y)^3=3P(-xy(x+y))

Κρατώντας το y σταθερό και παραγωγίζοντας ως προς x παίρνουμε

\displaystyle 3P(x)^2P'(x)-3P(-x-y)^2P'(-x-y)=3P'(-xy(x+y))(-y^{2}-2xy)

Θεωρώντας τώρα το x σταθερό και υποθέτοντας ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι n\geq 1

έχουμε ότι το αριστερό μέλος της (1) έχει ως προς y βαθμό 3n-1 .

Αλλά το δεξί μέλος της (1) έχει ως προς y βαθμό 2n.

Αρα 3n-1=2n δηλαδή n=1.

Το πολυώνυμο λοιπόν είναι σταθερό η πρώτου βαθμού.

Σημείωση.Τα παραπάνω ισχύουν για πολυώνυμα πάνω σε οποιοδήποτε σώμα χαρακτηριστικής 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης