Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

#1

Να βρεθούν όλα τα μη σταθερά πολυώνυμα P(x), Q(x)

με πραγματικούς συντελεστές που είναι τέτοια ώστε

$\displaystyle{P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}}$

dement · #2

Το γεγονός ότι η εκφώνηση δεν λέει "(αν υπάρχουν)" με ανησυχεί λίγο, αλλά για να δούμε...

Γράφουμε την εξίσωση ως $P(x)^9 \left( P(x) + 1 \right) = Q(x)^{20} \left( Q(x) + 1 \right)$ .

Έστω $x \in \mathbb{C}$ κοινή ρίζα των P, Q

. Τότε, για τις αλγεβρικές της πολλαπλότητες στα δύο πολυώνυμα ισχύει $9 m_p (x) = 20 m_q (x) \implies \exists k \in \mathbb{N} \ m_p(x) = 20k \wedge m_q(x) = 9k$ .

Εκτελούμε παρόμοιους συλλογισμούς για τα ζεύγη πολυωνύμων (P, Q+1), (P+1, Q), (P+1, Q+1)

. Μαζί με το γεγονός ότι τα ζεύγη (P, P+1), (Q, Q+1)

προφανώς δεν έχουν κοινές ρίζες, μπορούμε να γράψουμε τα πολυώνυμα ως

$P(x) = a B(x)^{20} R(x), P(x)+1 = b D(x)^{20} S(x), Q(x) = c B(x)^9 D(x), Q(x)+1 = d R(x)^9 S(x)$ με $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ .

Έστω d_B, d_R, d_D, d_S

οι βαθμοί των αντίστοιχων πολυωνύμων.

Ισχύουν 20 d_B + d_R = 20 d_D + d_S

και

, από όπου προκύπτουν $\displaystyle d_D = \frac{11}{21} d_B + \frac{10}{21} d_R$ και $\displaystyle d_S = \frac{200}{21} d_B - \frac{179}{21} d_R$ . Έτσι, αφού $\gcd (11,10) = \gcd (200, 179) = 1$ , υπάρχει $k \in \mathbb{Z}$ με $d_D = d_R + 11k, \ d_B = d_R + 21k, \ d_S = d_R + 200k$ .

Παραγωγίζουμε την $a B(x)^{20} R(x) + 1 = b D(x)^{20} S(x)$ και παίρνουμε $a B^{19} \left(20 B' R + B R' \right) = b D^{19} \left(20 D' S + D S' \right)$ . Αφού τα B, D

δεν έχουν κοινές ρίζες, $B^{19} \mid 20 D' S + D S' \implies 19 d_B < d_D + d_S$ (αφού το

δεν μπορεί να μηδενιστεί λόγω μη σταθερότητας). Αντικαθιστώντας τις προηγούμενες τιμές βρίσκουμε $17 d_R < - 188 k \implies k < 0$ .

Με τον ίδιο τρόπο, παραγωγίζοντας την c B(x)^9 D(x) + 1 = d R(x)^9 S(x)

παίρνουμε $B^8 \mid 9 R' S + R S' \implies 3 d_R < 16 k \implies k > 0$ .

Έτσι, έχουμε άτοπο και τα δύο μη σταθερά πολυώνυμα δεν υπάρχουν.

Τσιαλας Νικολαος · #3

Νομίζω ότι η λύση σας είναι ολόσωστη!! Να αναφέρω ότι η άσκηση είναι από πρόσφατο πολύ απαιτητικό δοαγωνισμό!!!

#4

Έκανα κακή μεταφορά στη διατύπωση της εκφώνησης. Δημήτρη, ευχαριστούμε για τη λύση.
Η άσκηση είναι από τον φετινό RMM https://artofproblemsolving.com/communi ... 66p9926974

Δίνω και τα βασικά βήματα για τη δική μου λύση:
Παραγωγίζουμε τη σχέση οπότε $\displaystyle{ P' \cdot P^8 \cdot \left( 10P + 9 \right) = Q' \cdot Q^{19} \cdot \left( 21Q + 20 \right)}$
Τώρα λόγω της αρχικής το 21Q+20

δεν έχει κοινές ρίζες ούτε με το

ούτε με το 10P+9

οπότε διαιρεί το υπόλοιπο, που δεν γίνεται με σύγκριση βαθμών.

Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Μέλη σε σύνδεση