Ελάχιστη τιμή

Datis-Kalali · #1

Αν

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $a+b+c \le 3$ , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $F=\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}$

JimNt. · #2

Datis-Kalali έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2018 3:11 pm
Αν και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε $a+b+c \le 3$ , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $F=\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}$

Προκύπτει σχετικά άμεσα από Jensen ότι το ελάχιστο είναι

.

#3

Μια λύση προκύπτει από ό,τι γράφει ο JimNt. Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{x+1}{x(x+2)}}$ είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο $\displaystyle{(0,+\infty),}$

οπότε

$\displaystyle{F=f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\geq 3f(1)=2.}$

Διαφορετικά, παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{F=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}+\right]\geq }$

$\displaystyle{\geq \frac{1}{2}\left[\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{a+b+c+6}\right]\geq \frac{1}{2}\left(\frac{9}{3}+\frac{9}{3+6}\right)=2.}$

Ελάχιστη τιμή

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση