Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Δευ Φεβ 19, 2018 6:41 pm

Αν a,b και c είναι μη-αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε a+b+c=3, να δείξετε ότι \frac{ab+bc+ca}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{36}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7884
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Φεβ 20, 2018 3:58 pm

Δύσκολη.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι a \geqslant b \geqslant c. Θέτω x = a(3-a). Τότε
  • ab + bc + ca = a(b+c) + bc \geqslant a(b+c) = a(3-a) = x
  • a^3 + b^3 + c^3 \leqslant a^3 + (b+c)^3 = a^3 + (3-a)^3 = 9a^2 - 27a + 27 = 9(3-x)
  • a^3b^3 + b^3c^3+c^3a^3 \leqslant a^3(b+c)^3 = x^3
Στο τρίτο σημείο χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι 6 = 2a + 2b+2c \geqslant b+c + 2b+2c = 3(b+c). Άρα b+c \leqslant 2 και άρα bc \leqslant (b+c)^2/4 = 1. Επίσης είναι 3 = a+b+c \leqslant 3a και άρα a \geqslant 1. Βάζοντάς τα όλα μαζί έχουμε

\displaystyle  a^3(b+c)^3 = a^3b^3 + a^3c^3 + 3a^3bc(b+c) \geqaslant a^3b^3 + a^3c^3 + 6a^3b^{3/2}c^{3/2} \geqslant a^3b^3 + a^3c^3 + b^3c^3

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι \displaystyle  36x \geqslant 9x^3(3-x)

Ισοδύναμα, αφού x \geqslant 0, θέλουμε \displaystyle  x^3 - 3x^2 + 4\geqslant 0 το οποίο ισχύει αφού x^3 - 3x^2+4 = (x-2)^2(x+1).

Η ανισότητα είναι αυστηρή εκτός και αν επιτρέψουμε ένα από τα a,b,c να ισούται με 0. Τότε έχουμε ισότητα για την τριάδα (2,1,0) καθώς και τις συμμετρικές της.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης