Συναρτησιακή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

JimNt.
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Ιαν 28, 2018 11:46 pm

Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση f(x)=f(cx+1) για κάθε x \in \mathbb{R} όπου c θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Ιαν 29, 2018 5:05 pm

Είναι f(x)=f(\frac{x-1}{c})=f(\frac{\frac{x-1}{c}-1}{c})=...,δηλαδή f(x)=f(\frac{x-\sum_{0}^{n}c^n}{c^{n+1}}).Όμως, \lim_{n->\infty }\frac{x-\sum_{0}^{n}c^n}{c^{n+1}}=\frac{-1}{c-1},και αφού η f συνεχής, είναι f(x)=\lim_{n->\infty }f(\frac{x-\sum_{0}^{n}c^n}{c^{n+1}})=f(\frac{-1}{c-1})=k που ισχύει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1796
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 29, 2018 5:18 pm

JimNt. έγραψε:
Κυρ Ιαν 28, 2018 11:46 pm
Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση f(x)=f(cx+1) για κάθε x \in \mathbb{R} όπου c θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.


Αφου απαντήθηκε να δούμε και την γενικότερη περίπτωση .Δηλαδή να είναι μόνο \left | c \right |\neq 1.
Πάλι μόνο για μαθητές.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 678
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 30, 2018 11:13 pm

Η αρχική λύση ισχύει γενικότερα για |c|>1.

Εξετάζουμε τώρα την περίπτωση για |c|<1.

Με παρόμοιο τρόπο έχουμε:

f(x)=f(cx+1)=f(c(cx+1)+1)=f(c(c(cx+1)+1)+1)=...= f(c^nx+c^{n-1}+c^{n-2}+...+1)=f \left( c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1}\right)

Όμως \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \left( c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1} \right)=\dfrac{-1}{c-1}}

Άρα και επειδή η f είναι συνεχής:

\displaystyle{f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f\left(c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1}\right)=f\left( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1} \right) \right)=f\left( \dfrac{-1}{c-1} \right) = k} που επαληθεύει την αρχική.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1378
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Συναρτησιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Ιαν 31, 2018 6:07 pm

Μια διαφορετική προσέγγιση:

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} με \displaystyle g\left( x \right) = f\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right) για κάθε x \in \mathbb{R}. Είναι

\displaystyle f\left( {cx - \frac{1}{{c - 1}}} \right) = f\left( {c\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right) + \frac{c}{{c - 1}} - \frac{1}{{c - 1}}} \right) = f\left( {c\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right) + 1} \right) = f\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right),

δηλαδή

\displaystyle g\left( {cx} \right) = g\left( x \right) \bf \color{red} \left( \bigstar \right)

για κάθε x \in \mathbb{R}.

Αν \displaystyle c = 0, τότε \displaystyle g\left( x \right) = g\left( 0 \right) για κάθε x \in \mathbb{R}.

Από τη σχέση \bf \color{red} \left( \bigstar \right) προκύπτει εύκολα με επαγωγή ότι \displaystyle g\left( x \right) = g\left( {{c^n}x} \right) και (για \displaystyle c \ne 0) ότι \displaystyle g\left( x \right) = g\left( {\frac{x}{{{c^n}}}} \right) για κάθε θετικό ακέραιο n και κάθε x \in \mathbb{R}.

Επειδή η g είναι συνεχής, έχουμε ότι:

\bullet Αν \displaystyle \left| c \right| > 1, τότε \displaystyle g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } g\left( {\frac{x}{{{c^n}}}} \right) = g\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{x}{{{c^n}}}} \right) = g\left( 0 \right) για κάθε x \in \mathbb{R}.

\bullet Αν \displaystyle 0 < \left| c \right| < 1, τότε \displaystyle g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } g\left( {{c^n}x} \right) = g\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{c^n}x} \right)} \right) = g\left( 0 \right) για κάθε x \in \mathbb{R}.

Σε κάθε περίπτωση, είναι \displaystyle g\left( x \right) = g\left( 0 \right), άρα και

\displaystyle f\left( x \right) = g\left( {x + \frac{1}{{c - 1}}} \right) = g\left( 0 \right) = f\left( { - \frac{1}{{c - 1}}} \right)

για κάθε x \in \mathbb{R}, οπότε η f είναι σταθερή.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες