Mathematics Today (1)

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 834
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Mathematics Today (1)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Δεκ 25, 2017 6:54 pm

Έστω \displaystyle{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k},a_{k+1},\ldots ,a_{n}} θετικοί πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{(k<n)}. Υποθέτουμε ότι οι τιμές των \displaystyle{a_{k+1},\ldots ,a_{n}} είναι συγκεκριμένες. Πώς θα πρέπει να επιλέξουμε τις τιμές των \displaystyle{a_{1},\ldots ,a_{n}} ώστε να ελαχιστοποιείται το \displaystyle{\sum_{i,j,i\neq j}\frac{a_{i}}{a_{j}}};

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 834
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Mathematics Today (1)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Φεβ 02, 2018 5:27 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Δευ Δεκ 25, 2017 6:54 pm
Έστω \displaystyle{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k},a_{k+1},\ldots ,a_{n}} θετικοί πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{(k<n)}. Υποθέτουμε ότι οι τιμές των \displaystyle{a_{k+1},\ldots ,a_{n}} είναι συγκεκριμένες. Πώς θα πρέπει να επιλέξουμε τις τιμές των \displaystyle{a_{1},\ldots ,a_{n}} ώστε να ελαχιστοποιείται το \displaystyle{\sum_{i,j,i\neq j}\frac{a_{i}}{a_{j}}};

Φιλικά,
Μάριος
Επαναφορά!


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Mathematics Today (1)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Φεβ 03, 2018 1:22 am

Ισχύει \displaystyle \sum_{i<j\leqslant k} \left( \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_j}{a_i} \right) \geqslant k(k-1) (από ΑΜ-ΓΜ) με ισότητα αν και μόνο αν a_1 = a_2 = ... = a_k.

Θέτουμε \displaystyle r \equiv \sum_{i=k+1}^n a_i, \ t \equiv \sum_{i=k+1}^n \frac{1}{a_i}. Τότε ισχύει \displaystyle \sum_{i \leqslant k<j} \left( \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_j}{a_i} \right) = \sum_{i \leqslant k} \left( t a_i + \frac{r}{a_i} \right) \geqslant 2 k \sqrt{rt} με ισότητα αν και μόνο αν \displaystyle a_1 = a_2 = ... = a_k = \sqrt{\frac{r}{t}}.

Τέλος, το \displaystyle \sum_{k<i<j} \left( \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_j}{a_i} \right) έχει τη σταθερή τιμή rt - n + k.

Έτσι, η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της \displaystyle k(k-1) + 2 k \sqrt{rt} + rt - n + k = \left( k + \sqrt{rt} \right)^2 - n για \displaystyle a_1 = a_2 = ... = a_k = \sqrt{\frac{r}{t}}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7888
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Mathematics Today (1)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Φεβ 03, 2018 8:07 am

Δεν το είχα προσέξει ότι είχε απαντηθεί. Την αφήνω για τον κόπο μου. Ουσιαστικά δεν διαφέρει από αυτήν που δόθηκε.

Θέτω \displaystyle x =a_1+\cdots,a_k, y=a_{k+1} + \cdots + a_{n}, z= \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_k} και \displaystyle w = \frac{1}{a_{k+1}} + \cdots + \frac{1}{a_n}.

Τα y,w είναι σταθερά. Το άθροισμα S ισούται με

\displaystyle  S = (x+y)(z+w)-n = xz + (xw+yz) + yw - n

Έχουμε xz \geqslant k^2 από την ανισότητα Αριθμητικοί-Αρμονικού μέσου. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν a_1 = \cdots = a_k.

Επίσης, xw + yz \geqslant 2\sqrt{xyzw} \geqslant 2k\sqrt{yw}. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν a_1 = \cdots = a_k και xw = yz.

Καταλήγουμε στο ότι S \geqslant k^2 + 2k\sqrt{yw} +yw - n. Μπορεί να επιτευχθεί η ισότητα αν (και μόνο αν) επιλέξουμε a_1 = \cdots = a_k = \sqrt{y/w}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης