Σύστημα!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6076
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Σύστημα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Δεκ 18, 2017 10:29 am

Αν \displaystyle{a,b,c\color{red}{>0},} να λυθεί το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x^2-y z=a, \\ y^2-zx=b, \\z^2-xy=c.\end{cases}}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Δευ Δεκ 18, 2017 10:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Σύστημα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Δεκ 19, 2017 7:54 pm

matha έγραψε:
Δευ Δεκ 18, 2017 10:29 am
Αν \displaystyle{a,b,c\color{red}{>0},} να λυθεί το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x^2-y z=a, \\ y^2-zx=b, \\z^2-xy=c.\end{cases}}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Είναι
x^2-y z=a (1)
 y^2-zx=b (2)
z^2-xy=c  (3)
Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει: (x-y)(x+y+z)=a-b . (4)
Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (3) προκύπτει: (y-z)(x+y+z)=b-c . (5)
Αφαιρώντας κατά μέλη τις (3) και (1) προκύπτει: (z-x)(x+y+z)=c-a . (6)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) , (2) και (3) προκύπτει:
x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy=a+b+c \Leftrightarrow (x-y)^2 + (y-z)^2 +(z-x)^2 = 2(a+b+c) (7) .

1. Θεωρώ a\neq b\neq c\neq a

Τώρα αντικαθιστώντας τις (4) , (5) και (6) στην (7) έχω :
\dfrac{(a-b)^2}{(x+y+z)^2}+\dfrac{(b-c)^2}{(x+y+z)^2}+\dfrac{(c-a)^2}{(x+y+z)^2}= 2(a+b+c) .

Στη συνέχεια διακρίνω τις εξής περιπτώσεις:
α) x+y+z=\sqrt{\dfrac{(a-b)^2}{(x+y+z)^2}+\dfrac{(b-c)^2}{(x+y+z)^2}+\dfrac{(c-a)^2}{(x+y+z)^2}} = p >0 . (8)
Αντικαθιστώντας την (8) στην (4) προκύπτει : x-y=\dfrac{a-b}{p} .(9)
Αντικαθιστώντας την (8) στην (5) προκύπτει : y-z=\dfrac{b-c}{p} .(10)
Αντικαθιστώντας την (8) στην (6) προκύπτει : z-x=\dfrac{c-a}{p} .(11)
Αφαιρώντας από την (9) την (11) έχουμε :2x-y-z=\dfrac{2a-b-c}{p}
(12) .
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (8) και (12) έχουμε:
x=\dfrac{p}{3}+\dfrac{2a-b-c}{3p} .
Εργαζόμενοι ομοίως βρίσκουμε y=\dfrac{p}{3}+\dfrac{2b-a-c}{3p}
και z=\dfrac{p}{3}+\dfrac{2c-a-b}{3p} .

β) x+y+z=- p . Στην περίπτωση αυτή προκύπτουν παρόμοιες λύσεις με την διαφορά ότι στους παραπάνω τύπους έχουμε αντί για p , -p.

2. Επίσης για a=b=c έχουμε :
x^2-y z=a (1)
 y^2-zx=a (2)
z^2-xy=a  (3)
και όπως παραπάνω x+y+z=0, από όπου z=-x-y.
Αντικαθιστώντας την τελευταία στην (1) προκύπτει: x^2+xy+y^2=a (4)
Ομοίως από την (2) και την χ=-y-z προκύπτει: y^2+yz+z^2=a (5)
και από την (3) και την y=-x-z προκύπτει: z^2+zx+x^2=a (6)
Αν θεωρήσουμε τις (4) και (6) δευτεροβάθμιες ως προς y και z έχουμε y=z με περιορισμό
λόγω διακρλινουσας 4a\geq 3x^2 .
Συνεπώς για y=z η (1) παίρνει την μορφή x^2-y^2=a και η (2) παίρνει την μορφή y^2-xy=a .
Από αυτές έχουμε (x-y)(x+2y)=0 .
Τώρα αν x=y προκύπτει και a=0 οπότε η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.
Αν x=-2y τότε έχουμε τις λύσεις x=-2\sqrt{\dfrac{a}{3}} και y=z=\sqrt{\dfrac{a}{3}} .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης