Ανισότητα με πλευρές τριγώνου και με συνθήκη!

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c}$ είναι πλευρές τριγώνου, για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{2ab+3bc+4ca=5abc}$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{F}=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{c+a-b}}$ .

#2

Αφού οι

είναι πλευρές τριγώνου άρα υπάρχουν θετικοί αριθμοί x,y,z

ώστε $a=\dfrac{y+z}{2}, \ b=\dfrac{z+x}{2}, \ c=\dfrac{x+y}{2}$ .

Έτσι, η δοσμένη σχέση από $\dfrac{2}{c}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{4}{b}=5$ γίνεται $\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{y+z}+\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{5}{2} \ (1)$

και έχουμε να μεγιστοποιήσουμε την παράσταση $\mathcal{F}=\dfrac{7}{z}+\dfrac{6}{x}+\dfrac{5}{y}$

Όμως λόγω της γνωστής ανισότητας $\dfrac{1}{x+y}\leq\dfrac{x+y}{4xy}$ (με ισότητα για x=y

) παίρνουμε:

$\dfrac{5}{2}=\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{y+z}+\dfrac{4}{x+z}\leq \dfrac{x+y}{2xy}+\dfrac{3(y+z)}{4yz}+\dfrac{x+z}{xz}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{7}{z}+\dfrac{6}{x}+\dfrac{5}{y}\right)=\dfrac{1}{4}\mathcal{F}$

απ' όπου $\mathcal{F}\geq 10$ . Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $x=y=z=\dfrac{9}{5}$ δηλαδή αν και μόνο αν $a=b=c=\dfrac{9}{5}$ .

Αλέξανδρος

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου και με συνθήκη!

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου και με συνθήκη!

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου και με συνθήκη!

Μέλη σε σύνδεση