Από μέσους όρους όλοι οι ρητοί

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1795
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Από μέσους όρους όλοι οι ρητοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 01, 2017 1:21 am

Θεωρούμε το A\subseteq \mathbb{R}
με τις ιδιότητες

α)0\in A,1\in A

β)Αν n\geq 1 φυσικός και a_{1},a_{2},....,a_{n}\in A

διαφορετικά ανά δύο τότε \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}\in A



Να δειχθεί ότι το A περιέχει όλους τους ρητούς του [0,1]


Το πρόβλημα το έμαθα από τον Λάμπρο Κατσάπα.Μετά την λύση θα γράψω που είχε εμφανισθεί.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1360
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Από μέσους όρους όλοι οι ρητοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Οκτ 01, 2017 10:24 am

Με επαγωγή, παίρνοντας μέσους όρους ζευγών, αποδεικνύεται ότι το A περιέχει όλους τους ρητούς με παρονομαστή δύναμη του 2 (τους μη περιοδικούς στο δυαδικό).

Π.χ. για περιττό p
\displaystyle \frac{p}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} \left( \frac{(p-1)/2}{2^n} + \frac{(p+1)/2}{2^n} \right)

Το σύνολο αυτό είναι πυκνό. Για έναν τυχαίο ρητό \displaystyle \frac{p}{q} \in [0,1] παίρνουμε q το πλήθος αριθμούς της μορφής 2^{-n}, n > 1. Διαμερίζουμε αυτό το σύνολο σε q-p υποσύνολα, κάθε ένα από τα οποία θα έχει άθροισμα s_k. Το επαναδιαμερίζουμε σε p υποσύνολα, κάθε ένα από τα οποία θα έχει άθροισμα r_k.

Ο αριθμητικός μέσος των s_1,...,s_{q-p}, 1-r_1,..., 1-r_p μας δίνει τον ρητό μας.

Υ.Γ. (Διόρθωσα τους δείκτες στην τελική φράση)
τελευταία επεξεργασία από dement σε Κυρ Οκτ 01, 2017 4:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1795
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από μέσους όρους όλοι οι ρητοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 01, 2017 11:25 am

Πολύ ωραία Δημήτρη.Η λύση σου είναι όμοια με την δική σου (διαφέρουν σε τεχνικές λεπτομέρειες) .
Να σημειώσω ότι το άθροισμα δυαδικών ρητών είναι δυαδικός ρητός.
(δυαδικός ρητός έχει την μορφή\frac{m}{2^{n}},m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N})

Το πρόβλημα είχε μπεί πριν λίγες μέρες στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ
και προέρχεται από
13th All Soviet Uunion Mathematical Competition.
Tbilisi 1979.

συμπλ.Στην τελευταία γραμμή ο Δημήτρης έχει τυπογραφικό.
Ηθελε να γράψει s_{1},..s_{k},....s_{q-p},
και 1-r_{1},...1-r_{k},....1-r_{p}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης