Επίλυση εξίσωσης με γνωστή μια ρίζα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1796
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Επίλυση εξίσωσης με γνωστή μια ρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 30, 2017 1:34 am

Δίνεται η εξίσωση

(x^{2}-x+1)^{3}=ax^{2}(1-x)^{2}

Αν είναι γνωστό ότι μια ρίζα της είναι ο αριθμός 3 να βρεθούν οι άλλες ρίζες της.



Λέξεις Κλειδιά:
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Επίλυση εξίσωσης με γνωστή μια ρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Ιούλ 30, 2017 12:40 pm

Αντικαθιστώντας x=3 παίρνουμε a=\dfrac{7^3}{36}. Έτσι η δοσμένη γίνεται 6^2(x^2-x+1)^3=7^3x^2(1-x)^2. Θέτουμε x(1-x)=y και αντικαθιστούμε. 6^2(1-y)^3=7^3y^2. Απο πριν βλέπουμε ότι η y=-6 επαληθεύει (επιπλέον η x=-2 \Rightarrow y=-6 αποτελεί λύση της αρχικής). Συνεπώς, αν P(y)=6^2(1-y)^3-7^3y^2 τότε (y+6)|P(y) για κάθε y \in {Z-\{-6\}}. Έτσι, P(y)=(y+6)(-36y^2-19y+6), από όπου προκύπτουν και οι y\in \{\dfrac{2}{9}, -\dfrac{3}{4} \}. Έχουμε τις x(1-x)=\dfrac{2}{9} και x(1-x)=-\dfrac{3}{4}. Έτσι, x \in \{3, -2, \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{2} \}


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1796
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Επίλυση εξίσωσης με γνωστή μια ρίζα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 30, 2017 12:54 pm

Πολύ ωραία Δημήτρη.
Ενας εναλλακτικός τρόπος είναι ο εξης.

Αν r ρίζα της εξίσωσης

τότε και τα 1-r,\frac{1}{r} είναι ρίζες.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Επίλυση εξίσωσης με γνωστή μια ρίζα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Ιούλ 30, 2017 8:31 pm

Μία άλλη σκέψη είναι να διαπιστώσουμε ότι x \ne 0,\;\;x \ne 1, να θεωρήσουμε {x^2} = u\left( {1 - x} \right), και να καταλήξουμε μετά από λίγες πράξεις στην {u^3} + 3{u^2} + \left( {3 - a} \right)u + 1 = 0, που από την υπόθεση έχει ως μία ρίζα την u =  - \frac{9}{2}, οπότε συνεχίζουμε κατά τα γνωστά προσδιορίζοντας το a, μετά τα υπόλοιπα u άρα και το x.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης