Καλή και ομορφη ανισότητα

Datis-Kalali · #1

Αν

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε a+b+c=1

να δείξετε οτι $\frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}$

Friedoon · #2

Datis-Kalali έγραψε:Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε να δείξετε οτι $\frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}$

Edit: λάθος λύση.

#3

Friedoon έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε να δείξετε οτι $\frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}$

Άρα από με $L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)$
παίρνουμε πως η παράσταση $\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}$ με τον περιορισμό
εμφανίζει μέγιστο όταν $a=b=c=\frac{1}{3}$

Επειδή μας παρακολουθούν μαθητές που θα συμμετάσχουν σε Διαγωνισμούς επιπέδου Αρχιμήδη και άνω, πρέπει να αναφέρουμε ότι μία τέτοια "λύση" βαθμολογείται με ΜΗΔΕΝ βαθμούς!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Friedoon έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε να δείξετε οτι $\frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}$
$3(ab+bc+ac)\le (a+b+c)^2 \Rightarrow ab+bc+ac \le \frac{1}{3}$
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(\frac{1}{3})^3}=27$
Όμως, $\frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{(1-c)^2}$ και $\frac{1}{(a+c)^2}=\frac{1}{(1-b)^2}$ και $\frac{1}{(c+b)^2}=\frac{1}{(1-a)^2}$
Άρα από με $L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)$
παίρνουμε πως η παράσταση $\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}$ με τον περιορισμό
εμφανίζει μέγιστο όταν $a=b=c=\frac{1}{3}$
Άρα
$\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2} \le \frac{27}{4}<27$
και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Και γιατί αγαπητέ Ανδρέα δεν παίρνει ελάχιστο όταν a=b=c

Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο αλλά θα πρέπει να δικαιολογήσουμε γιατί έχουμε
μέγιστο η ελάχιστο.

Friedoon · #5

matha έγραψε:
Friedoon έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε να δείξετε οτι $\frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}$

Άρα από με $L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)$
παίρνουμε πως η παράσταση $\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}$ με τον περιορισμό
εμφανίζει μέγιστο όταν $a=b=c=\frac{1}{3}$
Επειδή μας παρακολουθούν μαθητές που θα συμμετάσχουν σε Διαγωνισμούς επιπέδου Αρχιμήδη και άνω, πρέπει να αναφέρουμε ότι μία τέτοια "λύση" βαθμολογείται με ΜΗΔΕΝ βαθμούς!

Απαγορεύεται η χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange στον Αρχιμήδη;

#6

Friedoon έγραψε:
matha έγραψε:
Friedoon έγραψε:
Άρα από με $L(a,b,c,l)=\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}-l(a+b+c-1)$
παίρνουμε πως η παράσταση $\frac{1}{(1-c)^2}+\frac{1}{(1-b)^2}+\frac{1}{(1-a)^2}$ με τον περιορισμό
εμφανίζει μέγιστο όταν $a=b=c=\frac{1}{3}$
Επειδή μας παρακολουθούν μαθητές που θα συμμετάσχουν σε Διαγωνισμούς επιπέδου Αρχιμήδη και άνω, πρέπει να αναφέρουμε ότι μία τέτοια "λύση" βαθμολογείται με ΜΗΔΕΝ βαθμούς!
Απαγορεύεται η χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange στον Αρχιμήδη;

Όχι! Ωστόσο είναι μάλλον δύσκολο (όχι αδύνατο) να δικαιολογήσει κάποιος μαθητή με ορθότητα και πληρότητα τα επιχειρήματά του.

Καλή και ομορφη ανισότητα

Καλή και ομορφη ανισότητα

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

Re: Καλή και ομορφη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση