Τρίγωνο με πλευρές διαδοχικούς ακεραίους

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Τρίγωνο με πλευρές διαδοχικούς ακεραίους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Φεβ 15, 2017 12:55 pm

Έστω n θετικός ακέραιος και \displaystyle{x = \sum\limits_{k \ge 0} \binom{n}{2k} {2^{n - 2k}}{3^k}}. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \displaystyle{2x - 1}, \displaystyle{2x} και \displaystyle{2x + 1} είναι μήκη πλευρών τριγώνου, του οποίου το εμβαδόν και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι επίσης ακέραιοι αριθμοί.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τρίγωνο με πλευρές διαδοχικούς ακεραίους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Φεβ 16, 2017 1:37 am

emouroukos έγραψε:Έστω n θετικός ακέραιος και \displaystyle{x = \sum\limits_{k \ge 0} \binom{n}{2k} {2^{n - 2k}}{3^k}}. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \displaystyle{2x - 1}, \displaystyle{2x} και \displaystyle{2x + 1} είναι μήκη πλευρών τριγώνου, του οποίου το εμβαδόν και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι επίσης ακέραιοι αριθμοί.
Ας είναι

\displaystyle{x_n=\sum\limits_{k \ge 0} \binom{n}{2k} {2^{n - 2k}}{3^k}}

Από το διωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε

\displaystyle{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k} και \displaystyle{\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k}

άρα

\displaystyle{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\left(1+(-1)^k\right)}.

Από εδώ φαίνεται ότι επιβιώνουν μόνο οι όροι με άρτιο \displaystyle{k} και ισχύει προφανώς

\displaystyle{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=2\sum_{k\geq 0}\binom{n}{2k}\left(\frac{3}{4}\right)^k}.

Επομένως είναι

\displaystyle{x_n=2^{n-1}(a^n+b^n),} όπου \displaystyle{a,b=1\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}.

Επομένως για την \displaystyle{x_n} ισχύει

\displaystyle{x_n=\frac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n}{2}}.

Τότε είναι

\displaystyle{x_n ^2-1=\left(\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2}\right)^2}.

(Από εδώ φαίνεται ότι τα \displaystyle{2x_n-1,2x_n, 2x_n +1} είναι πλευρές τριγώνου, αφού ισχύει \displaystyle{2x_n +1<2x_n +2x_n -1})

Επίσης έυκολα βλέπουμε ότι η ακολουθία ικανοποιεί την αναδρομική σχέση \displaystyle{x_1=2,x_2=7, x_{n+2}-4x_{n+1}+x_n=0,} άρα όλοι οι όροι είναι θετικοί ακέραιοι.

Παρατηρούμε ότι στη διαφορά των ν-οστών δυνάμεων απλοποιούνται οι όροι περιττής τάξης και απομένει ένα άρτιο ακέραιο πολλαπλάσιο του \displaystyle{\sqrt{3}.}

Είναι δηλαδή

\displaystyle{x_n ^2-1=3z_n ^2 , z_n \in \mathbb{N}.} (\displaystyle{\color{red}\spadesuit}).

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι από τον τύπο του Ήρωνα

\displaystyle{E_n =\cdots =x_n \sqrt{3(x_n ^2 -1)}} και ακόμα είναι \displaystyle{r=\sqrt{\frac{x_n^2-1}{3}}}.

Τα ζητούμενα είναι συνέπεια της (\displaystyle{\color{red}\spadesuit}).


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης