Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Tolaso J Kos · #1

Έστω $n \in \mathbb{N}^*$ και ας δηλώνει το $\left \lfloor x \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος. Ας δειχθεί ότι
$\displaystyle{\prod_{k=1}^{n^2}\left ( \frac{k^{\sqrt{k}}}{\left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor} \right )^{\left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor} \left ( \sum_{k=1}^{n} \left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor \right )^{\large \sum \limits_{k=1}^{n} \left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor } \leq \left ( \sum_{k=1}^{n^2} k^{\sqrt{k}} \right )^{\sum \limits_{k=1}^{n^2} \left \lfloor \sqrt{k} + 1 \right \rfloor}}$ Redwane El Mellas , 2014

Άνευ λύσης.

Tolaso J Kos · #2

Όχι ε;

#3

Γράφουμε $\displaystyle{x_k = \frac{k^{\sqrt{k}}}{\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor}}$ , $w_k=\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor$ , $w = w_1 + \cdots + w_{n^2}$ και m = n^2

. Η ζητούμενη ανισότητα γίνεται

$\displaystyle{\left( \frac{w_1x_1 + \cdots + w_mx_m}{w}\right)^w \geqslant x_1^{w_1} \cdots x_m^{w_m}}$

η οποία ισχύει αφού είναι η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ στην μορφή των βαρών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γεια σου Τόλη.
Δεν νομίζω να είναι δύσκολη η λύση αλλά η πληκτρολόγηση τουλάχιστον για μένα είναι αδύνατη.
Νομίζω ότι βγαίνει με γενικευμένη αριθμητικός γεωμετρικός μέσος.
Μάλιστα βελτιώνετε.
(με την επιφύλαξη να έχω λάθος)
Θα την κοιτάξω ξανά και αν δεν έχει γίνει θα προσπαθήσω να πληκτρολογήσω την ιδέα.
Συμπλήρωμα.
Ευχαριστώ Δημήτρη.Δεν θα μπω στον κόπο.

dement · #5

Demetres έγραψε:Γράφουμε $\displaystyle{x_k = \frac{k^{\sqrt{k}}}{\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor}}$ , $w_k=\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor$ , $w = w_1 + \cdots + w_{n^2}$ και . Η ζητούμενη ανισότητα γίνεται

$\displaystyle{\left( \frac{w_1x_1 + \cdots + w_mx_m}{w}\right)^w \geqslant x_1^{w_1} \cdots x_m^{w_m}}$

η οποία ισχύει αφού είναι η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ στην μορφή των βαρών.

Το οποίο φυσικά προϋποθέτει λαθάκι στην αρχική εκφώνηση... Ας προσέχουμε λίγο.

Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση