Πολυωνυμική
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Πολυωνυμική
Ισχυρισμός: Για ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
Το είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ή υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε
Απόδειξη Ισχυρισμού: Έστω ότι και ότι το δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Τότε, θα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και φυσικοί αριθμοί ,, με ώστε Έχουμε τότε ότι:
Αν , τότε ο συντελεστής του στην είναι ίσος με πράγμα άτοπο. Επομένως, και Αλλά από τη σχέση προκύπτει ότι , οπότε και ο Ισχυρισμός έπεται.
Θέτουμε στη δοσμένη σχέση
το στη θέση του , οπότε προκύπτει ότι:
.
Με αφαίρεση των και κατά μέλη προκύπτει ότι:
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι περιττός. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι άρτιος. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
Εύκολα επαληθεύουμε ότι τα παραπάνω πολυώνυμα επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση .
****************************************
Ευχαριστώ τον tasosty για την επισήμανσή του ότι η αρχική μορφή της σχέσης ήταν λανθασμένη.
Το είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ή υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε
Απόδειξη Ισχυρισμού: Έστω ότι και ότι το δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Τότε, θα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί και φυσικοί αριθμοί ,, με ώστε Έχουμε τότε ότι:
Αν , τότε ο συντελεστής του στην είναι ίσος με πράγμα άτοπο. Επομένως, και Αλλά από τη σχέση προκύπτει ότι , οπότε και ο Ισχυρισμός έπεται.
Θέτουμε στη δοσμένη σχέση
το στη θέση του , οπότε προκύπτει ότι:
.
Με αφαίρεση των και κατά μέλη προκύπτει ότι:
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι περιττός. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι άρτιος. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
Εύκολα επαληθεύουμε ότι τα παραπάνω πολυώνυμα επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση .
****************************************
Ευχαριστώ τον tasosty για την επισήμανσή του ότι η αρχική μορφή της σχέσης ήταν λανθασμένη.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Πολυωνυμική
Στην σχέση που είναι τα ερωτηματικά, μπορεί κάποιος να εξηγήσει γιατί αναγκαστικά για κάθε ή για κάθε ; (ενώ είναι γνωστό ότι δεν ισχύει κάτι τέτοιο στις συναρτήσεις)emouroukos έγραψε: ↑Τρί Μάιος 01, 2012 8:38 am
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι περιττός. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι άρτιος. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
Εύκολα επαληθεύουμε ότι τα παραπάνω πολυώνυμα επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση .
Ευχαριστώ,
Ορέστης.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυωνυμική
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 20, 2018 11:25 amΣτην σχέση που είναι τα ερωτηματικά, μπορεί κάποιος να εξηγήσει γιατί αναγκαστικά για κάθε ή για κάθε ; (ενώ είναι γνωστό ότι δεν ισχύει κάτι τέτοιο στις συναρτήσεις)emouroukos έγραψε: ↑Τρί Μάιος 01, 2012 8:38 am
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι περιττός. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι άρτιος. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
Εύκολα επαληθεύουμε ότι τα παραπάνω πολυώνυμα επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση .
Ευχαριστώ,
Ορέστης.
Εδώ έχουμε πολυωνυμικές συναρτήσεις.
Για αυτές ισχύει.
Αν πολυωνυμικές συναρτήσεις με βαθμούς σαν πολυώνυμα και
για τουλάχιστον διαφορετικά
τότε ένα τουλάχιστον από τα
Ισχύει.
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται απόδειξη.
Αν ζητηθεί ευχαρίστως να την γράψω.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Πολυωνυμική
Ευχαριστώ πολύ Σταύρο. Καλές Γιορτές.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 20, 2018 11:45 amΟρέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 20, 2018 11:25 amΣτην σχέση που είναι τα ερωτηματικά, μπορεί κάποιος να εξηγήσει γιατί αναγκαστικά για κάθε ή για κάθε ; (ενώ είναι γνωστό ότι δεν ισχύει κάτι τέτοιο στις συναρτήσεις)emouroukos έγραψε: ↑Τρί Μάιος 01, 2012 8:38 am
Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι περιττός. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
δηλαδή
Τότε, με αντικατάσταση στην βρίσκουμε ότι
Επομένως, για το πολυώνυμο ισχύει οπότε από τον Ισχυρισμό έχουμε ότι ή για κάποιο φυσικό αριθμό . Επειδή, όμως, ισχύει ο θα είναι άρτιος. Προκύπτει, λοιπόν, ότι
ή
όπου φυσικός αριθμός.
Εύκολα επαληθεύουμε ότι τα παραπάνω πολυώνυμα επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση .
Ευχαριστώ,
Ορέστης.
Εδώ έχουμε πολυωνυμικές συναρτήσεις.
Για αυτές ισχύει.
Αν πολυωνυμικές συναρτήσεις με βαθμούς σαν πολυώνυμα και
για τουλάχιστον διαφορετικά
τότε ένα τουλάχιστον από τα
Ισχύει.
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται απόδειξη.
Αν ζητηθεί ευχαρίστως να την γράψω.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πολυωνυμική
O δακτύλιος δεν έχει μηδενοδιαιρέτες Ορέστη. Είναι ακέραια περιοχή.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 20, 2018 11:25 am
Στην σχέση που είναι τα ερωτηματικά, μπορεί κάποιος να εξηγήσει γιατί αναγκαστικά για κάθε ή για κάθε ; (ενώ είναι γνωστό ότι δεν ισχύει κάτι τέτοιο στις συναρτήσεις)
Ευχαριστώ,
Ορέστης.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυωνυμική
Να ξεκαθαρίσω ότι θεωρώ την απόδειξη του Βαγγέλη την πλέον εύστοχη.emouroukos έγραψε: ↑Τρί Μάιος 01, 2012 8:38 amΙσχυρισμός: Για ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
Το είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ή υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε
Για λόγους πλουραλισμού να δώσω μια απόδειξη διαφορετική με μιγαδικούς.
Μάλιστα όπως θα φανεί από την απόδειξη το μπορεί να έχει και μιγαδικούς συντελεστές.
Αφού
στο
θα είναι ότι στο
Αυτό το βλέπουμε γιατί κάθε ταυτότητα στο ισχύει και στο
Από την στο
βλέπουμε ότι αν το είναι ρίζα του τότε και
το είναι
Αν πάρουμε ένα
τότε παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες παίρνουμε άπειρους μιγαδικούς.
Αν δεχθούμε το παραπάνω τότε αν το έχει μη μηδενική ρίζα θα άπειρες που
προφανώς είναι ΑΤΟΠΟ.
Να σημειώσω ότι στα παρακάτω θα χρησιμοποιήσω τον συμβολισμό
Αν
τότε
Αν τότε
τότε παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες(και όχι όλες) έχουμε τους
που είναι διαφορετικοί μιγαδικοί.
Αν τότε οι ρίζες του είναι τα
Συνεχίζουμε με το
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες