Mη γραμμικό σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \begin{Bmatrix} x^2+y^2 =1&\\ (3x-4x^3)(3y-4y^3)= -\dfrac {1}{2} \end{matrix}}$

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:19 am
Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \begin{Bmatrix} x^2+y^2 =1&\\ (3x-4x^3)(3y-4y^3)= -\dfrac {1}{2} \end{matrix}}$

Θέτω : $x = \sin t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \cos t$ και η δεύτερη γίνεται: $\boxed{\sin 3t\left( { - \cos 3t} \right) = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 6t = 1}$ .

Έτσι

$6t = 2k\pi + \dfrac{\pi }{2}\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \boxed{t = \dfrac{{k\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}\,\,,\,\,k = 0,1,2,3,4,5}$

αφού λόγω περιοδικότητας οι ρίζες επαναλαμβάνονται.

Τελικά οι ρίζες είναι :

α) $\,\,\left( {x,y} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}&{ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \\ {}&{} \end{array}} \right)\,\,$ ή συμμετρικά

β) $\,\,\left( {x,y} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}&{\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}} \\ {}&{} \end{array}} \right)\,\,$ ή συμμετρικά

γ) $\,\,\left( {x,y} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}&{\dfrac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}} \\ {}&{} \end{array}} \right)\,\,$ ή συμμετρικά

S.E.Louridas · #3

Ας δούμε και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί, μετά από την άριστη λύση του Νίκου και μόνο για λόγους πολυφωνίας.

Επειδή έχουμε το άθροισμα των τετραγώνων αρκεί να προσδιορίσουμε το γινόμενο και αυτό προς χάριν της στόχευσης δημιουργίας ομογενούς συστήματος.

Θέτουμε $\displaystyle{xy = t$ και διαπιστώνουμε ότι $t \ne 0,\;\,32{t^3} - 6t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {t = - \frac{1}{2}\;} \right)\; \vee \;\left( {t = \frac{1}{4}\;} \right),}$

άρα έχουμε $\displaystyle{\left[ {\left( {{x^2} + {y^2} = 1} \right) \wedge xy = - \frac{1}{2}} \right] \vee \left[ {\left( {{x^2} + {y^2} = 1} \right) \wedge xy = \frac{1}{4}} \right]}$ που πλέον επιλύουμε απλά.

#4

και η κλασσική μέθοδος (γιατί ζήλεψα)
$(E2)\Leftrightarrow(3x-4x^3)(3y-4y^3)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2xy(3-4x^2)(3-4y^2)=-1\Leftrightarrow 2xy\left ( 9-12x^2-12y^2+16x^2y^2 \right )= -1\Leftrightarrow$ $2xy(-3+16x^2y^2)=-1\Leftrightarrow 32(xy)^3-6(xy)+1=0\Leftrightarrow xy=-\frac{1}{2} \vee 4xy=1$
Οπότε καταλήγουμε στα συστήματα:
$\left \{ x^2+y^2=1 \wedge xy=-\frac{1}{2} \right \} (\Sigma 1)$
και
$\left \{ x^2+y^2=1 \wedge 4xy=1 \right \} (\Sigma 2)$

Mη γραμμικό σύστημα

Mη γραμμικό σύστημα

Re: Mη γραμμικό σύστημα

Re: Mη γραμμικό σύστημα

Re: Mη γραμμικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση