Όρεξη είχε
Συντονιστές: Demetres, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Όρεξη είχε
Ο Αντρέας έλυσε ένα μαθηματικό πρόβλημα και βρήκε ως τελική απάντηση. Παρατήρησε ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι να γράψει την απάντηση ως με θετικούς ακεραίους. Για κάθε τέτοιο τρόπο υπολόγισε το και το έγραψε στην μορφή για κάποιον ρητό .
Να βρεθεί το άθροισμα όλων των .
Να βρεθεί το άθροισμα όλων των .
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Όρεξη είχε
Καταρχήν, είναι προφανές ότι (πράγματι, .Demetres έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 28, 2018 9:40 pmΟ Αντρέας έλυσε ένα μαθηματικό πρόβλημα και βρήκε ως τελική απάντηση. Παρατήρησε ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι να γράψει την απάντηση ως με θετικούς ακεραίους. Για κάθε τέτοιο τρόπο υπολόγισε το και το έγραψε στην μορφή για κάποιον ρητό .
Να βρεθεί το άθροισμα όλων των .
Επίσης, , και άρα .
Οπότε, πρέπει , συνεπώς κάθε είναι μικρότερο από τον αντίστοιχο εκθέτη στο δεξί μέλος.
Συνεπώς, , και επομένως ο πρέπει να διαιρεί τον .
Καταλήγουμε ότι θέλουμε το άθροισμα των αντιστρόφων των διαιρετών του .
Έστω λοιπόν οι διαιρέτες του , και .
Ισχύει, (εύκολο) ότι με , οπότε είναι .
Είναι γνωστό όμως (π.χ. βλέπε εδώ ) ότι το άθροισμα των διαιρετών ενός αριθμού με πρώτους, είναι .
Στην περίπτωσή μας λοιπόν, έχουμε , και τελικά και τελειώσαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες