Πλήθος ακεραίων
Συντονιστές: Demetres, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Πλήθος ακεραίων
Έστω θετικός ακέραιος . Να βρεθεί το πλήθος των μη αρνητικών ακεραίων οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του και ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες:
(α) Ο είναι πολλαπλάσιο του .
(β) Κάθε δεκαδικό ψηφίο του είναι ένα από τα και .
(α) Ο είναι πολλαπλάσιο του .
(β) Κάθε δεκαδικό ψηφίο του είναι ένα από τα και .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πλήθος ακεραίων
Αφού ο δεν είναι πολλαπλάσιο του , θεωρούμε απλώς τους -ψήφιους αριθμούς (όπου το θεωρείται πιθανό εξ αριστερών ψηφίο).
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι ο αριθμός μας να περιέχει ισάριθμα (modulo ) ψηφία ισότιμα με ( ή ) και ισότιμα με (). Αν ο αριθμός των ψηφίων modulo είναι και αυτών modulo είναι , τότε έχουμε δυνατότητες (από επιλογή θέσεων και ψηφίου modulo , αφού έχουμε μόνο ένα ψηφίο ισότιμο με modulo ) και συνολικά οι συνδυασμοί είναι
.
Ισχύει (ταυτότητα) ότι
από όπου το άθροισμά μας γίνεται
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι ο αριθμός μας να περιέχει ισάριθμα (modulo ) ψηφία ισότιμα με ( ή ) και ισότιμα με (). Αν ο αριθμός των ψηφίων modulo είναι και αυτών modulo είναι , τότε έχουμε δυνατότητες (από επιλογή θέσεων και ψηφίου modulo , αφού έχουμε μόνο ένα ψηφίο ισότιμο με modulo ) και συνολικά οι συνδυασμοί είναι
.
Ισχύει (ταυτότητα) ότι
από όπου το άθροισμά μας γίνεται
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος ακεραίων
Ωραία!
Ξέρουμε ότι
Θέτουμε διαδοχικά , όπου και προσθέτουμε.
Για είναι ενώ για είναι . Άρα παίρνουμε
Άρα
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε και τα άλλα δύο. [Υπολογίζοντας π.χ. τα και αντίστοιχα.] Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε και συμμετρία. Π.χ. αν είναι
Ας δούμε και την απόδειξη μιας και δεν νομίζω να θυμόμαστε την ταυτότητα εν ώρα διαγωνισμού:dement έγραψε: Ισχύει (ταυτότητα) ότι
Ξέρουμε ότι
Θέτουμε διαδοχικά , όπου και προσθέτουμε.
Για είναι ενώ για είναι . Άρα παίρνουμε
Άρα
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε και τα άλλα δύο. [Υπολογίζοντας π.χ. τα και αντίστοιχα.] Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε και συμμετρία. Π.χ. αν είναι
Re: Πλήθος ακεραίων
Η αλήθεια είναι ότι κι εγώ δεν την θυμόμουν, την απέδειξα επί τόπου και μετά σκέφτηκα ότι αποκλείεται να μην υπάρχει κάπου ως ταυτότητα!
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πλήθος ακεραίων
Διαφορετικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αναδρομικές σχέσεις.
Γράφουμε για το πλήθος των που ικανοποιούν το (β) αλλά είναι ισότιμα με και αντίστοιχα. Είναι άμεσο ότι
με αρχικές σχέσεις και .
Παρατηρώ τώρα ότι
Άρα είναι και
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε
και
Την άσκηση την πήρα από εδώ. Ίσως λίγο δύσκολη για Αρχιμήδη/Προκριματικό. Την έβαλα όμως εδώ διότι απαιτεί μεν κάποιες γνώσεις αλλά είναι αρκετά τυπική και δεν χρειάζεται ιδιαίτερη σκέψη.
Γράφουμε για το πλήθος των που ικανοποιούν το (β) αλλά είναι ισότιμα με και αντίστοιχα. Είναι άμεσο ότι
με αρχικές σχέσεις και .
Παρατηρώ τώρα ότι
Άρα είναι και
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε
και
Την άσκηση την πήρα από εδώ. Ίσως λίγο δύσκολη για Αρχιμήδη/Προκριματικό. Την έβαλα όμως εδώ διότι απαιτεί μεν κάποιες γνώσεις αλλά είναι αρκετά τυπική και δεν χρειάζεται ιδιαίτερη σκέψη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες