Πύργοι σε σκακιέρα

Συντονιστές: Demetres, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7826
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Πύργοι σε σκακιέρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 05, 2017 9:55 pm

Σε μια 15 \times 15 σκακιέρα είναι τοποθετημένοι 15 πύργοι ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους.

Κάθε ένας από αυτούς τους πύργους κάνει μία κίνηση όπως ένας ίππος. Να δειχθεί ότι μετά από αυτό υπάρχουν δυο πύργοι που απειλούνται μεταξύ τους. (Ή που βρίσκονται στην ίδια θέση.)



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10231
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πύργοι σε σκακιέρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 06, 2017 9:42 am

Demetres έγραψε:Σε μια 15 \times 15 σκακιέρα είναι τοποθετημένοι 15 πύργοι ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους.

Κάθε ένας από αυτούς τους πύργους κάνει μία κίνηση όπως ένας ίππος. Να δειχθεί ότι μετά από αυτό υπάρχουν δυο πύργοι που απειλούνται μεταξύ τους. (Ή που βρίσκονται στην ίδια θέση.)
Η λύση αυτή αντικαθιστά μια προηγούμενη που όμως ήταν εσφαλμένη. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Χριστοφίδη για την υπόδειξη του σφάλματος.

Θεωρούμε τα τετραγωνάκια της σκακιέρας αριθμημένα σαν να ήταν Καρτεσιανό επίπεδο, αρχίζοντας από το κάτω αριστερά το οποίο είναι το (1,1) μέχρι το πάνω δεξιά (15,15). Αν θεωρήσουμε ότι το (1,1) είναι μαύρο, τότε τα υπόλοιπα μαύρα είναι ακριβώς τα (m,n) με m+n= άρτιος.

Έστω ότι αρχική διάταξη των πύργων είναι στις θέσεις (a_k,b_k), \, 1\le k \le 15. Αφού οι πύργοι δεν απειλούνται, σημαίνει ότι οι αριθμοί a_1, ... \, , a_{15} είναι αναδιάταξη των 1, 2, ... \, , 15. Το ίδιο και τα b_k. Ειδικότερα

\displaystyle{\sum (a_k+b_k)=2(1+2+…+15)=} άρτιος.

Χωρίζουμε τώρα το άθροισμα στα δύο: Το επιμέρους άθροισμα στα μαύρα τετραγωνάκια και αντίστοιχα, στα λευκά. Δηλαδή

\displaystyle{\sum_{mavra} (a_k+b_k) + \sum_{lefka} (a_k+b_k)=2(1+2+…+15)=} άρτιος.

Παρατηρούμε ότι οι προσθετέοι a_k+b_k στο πρώτο άθροισμα (στα μαύρα) είναι άρτιοι ενώ στο δεύτερο, περιττοί.

Αφού όλο το άθροισμα είναι άρτιος σημαίνει ότι και το \displaystyle{\sum_{lefka} (a_k+b_k)} είναι άρτιος, που με τη σειρά του σημαίνει ότι το πλήθος των πύργων που βρίσκονται σε λευκά τετράγωνα είναι άρτιος αριθμός. Έπεται ότι οι πύργοι τα μαύρα τετράγωνα είναι 15 μείον το πλήθος των λευκών, ίσον κάποιος περιττός.

Τώρα, με την κίνηση του ίππου, ένα πύργος πηγαίνει από λευκό τετράγωνο σε μαύρο, και αντίστροφα. Συνεπώς δεν μπορεί οι πύργοι να μην απειλούνται γιατί τότε το αντίστοιχο άθροισμα

\displaystyle{\sum_{mavra} (a_k'+b_k') + \sum_{lefka} (a_k'+b_k') }

θα έπρεπε να ήταν άρτιος και άρα τα λευκά να είναι άρτιου πλήθους. Όμως τώρα είναι περιττού, όσα τα μαύρα στην αρχική διάταξη.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Πύργοι σε σκακιέρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Ιαν 06, 2017 10:07 am

Demetres έγραψε:Σε μια 15 \times 15 σκακιέρα είναι τοποθετημένοι 15 πύργοι ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους.

Κάθε ένας από αυτούς τους πύργους κάνει μία κίνηση όπως ένας ίππος. Να δειχθεί ότι μετά από αυτό υπάρχουν δυο πύργοι που απειλούνται μεταξύ τους. (Ή που βρίσκονται στην ίδια θέση.)
Μα λίγο πιο σύντομη διαδρομή στην λύση του κ. Μιχάλη.

Οι 15 πύργοι δεν απειλούνται μεταξύ τους αν και μόνο αν κάθε πύργος έχει διαφορετική τετμημένη και τεταγμένη με αποτέλεσμα
το άθροισμα των συντεταγμένων όλων των πύργων να είναι 2(1+2+\cdots+14+15)=240.

Παρατηρούμε ότι η κίνηση του πύργου μεταβάλει το άθροισμα των συντεταγμένων κατά 1 ή 3.

Το άθροισμα όμως 15 περιττών ακεραίων είναι περιττός, οπότε το νέο άθροισμα αποκλείεται να είναι 240.

Άρα θα υπάρχουν δύο πύργοι που απειλούνται μεταξύ τους.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7826
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πύργοι σε σκακιέρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 06, 2017 11:39 am

Ακόμη μία λύση:

Κάθε πύργος κάνει 3 βήματα. Οπότε είτε οριζόντια είτε κάθετα κάνει περιττό αριθμό βημάτων. Επειδή έχουμε περιττό αριθμό πύργων, είτε οριζόντια είτε κάθετα θα έχουμε περιττό αριθμό πύργων που κάνουν περιττό αριθμό βημάτων. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας οριζόντια. Κάθε φορά που κάνουμε οριζόντια περιττό αριθμό βημάτων αλλάζουμε από περιττή σε άρτια στήλη και αντίστροφα. (Έχουμε 8 περιττές στήλες και 7 άρτιες.) Αλλιώς η αρτιότητα μένει η ίδια. Θα έχουμε οπότε περιττό αριθμό αλλαγών, άτοπο.


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Πύργοι σε σκακιέρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Μαρ 05, 2017 5:52 pm

Demetres έγραψε:Ακόμη μία λύση:

Κάθε πύργος κάνει 3 βήματα. Οπότε είτε οριζόντια είτε κάθετα κάνει περιττό αριθμό βημάτων. Επειδή έχουμε περιττό αριθμό πύργων, είτε οριζόντια είτε κάθετα θα έχουμε περιττό αριθμό πύργων που κάνουν περιττό αριθμό βημάτων. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας οριζόντια. Κάθε φορά που κάνουμε οριζόντια περιττό αριθμό βημάτων αλλάζουμε από περιττή σε άρτια στήλη και αντίστροφα. (Έχουμε 8 περιττές στήλες και 7 άρτιες.) Αλλιώς η αρτιότητα μένει η ίδια. Θα έχουμε οπότε περιττό αριθμό αλλαγών, άτοπο.
Aν σε μια n\times n σκακιέρα είναι τοποθετημένοι n πύργοι ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους τότε αν μεταφερθεί ένας πύργος σε κελί διαφορετικό απτό δικό του θα ισχύει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης