Τέλειος κύβος
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Τέλειος κύβος
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί ώστε ο να είναι τέλειος κύβος.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τέλειος κύβος
Είναι, , με θετικό ακέραιο, αφού
Είναι, άρα ή . Διακρίνουμε, λοιπόν, δύο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1: . Τότε, αν , με , είναι , άρα αφού , έχουμε
άρα , που δίνει ότι . Εύκολα επαληθεύουμε ότι και οι δύο τιμές είναι δεκτές.
Περίπτωση 2: . Τότε, αν , είναι και . Ας υποθέσουμε ότι . Είναι,
άρα και αφού , είναι και . Άρα,
και αφού (πράγματι, αν , τότε , οπότε , άρα , άτοπο), προκύπτει ότι
άρα ή , που δίνει ότι άτοπο , ή , οπότε με θετικό ακέραιο. Αν υποθέσουμε ότι , τότε
οπότε έχουμε άτοπο.
Άρα, πρέπει , συνεπώς , δηλαδή έχουμε ότι
και
Λύνοντας τώρα το σύστημα των προκύπτει ότι και , άτοπο.
Τελικά, λύσεις τα και .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τέλειος κύβος
Το είδαμε και εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=57662
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=57662
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τέλειος κύβος
Σαφώς δυσκολότερη είναι η γενικότερη εκδοχή της, χωρίς τη συνθήκη ο να είναι πρώτος.
Να βρεθούν οι ακέραιοι , ώστε ο να είναι τέλειος κύβος.
Υποθέτω δεν μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.
Να βρεθούν οι ακέραιοι , ώστε ο να είναι τέλειος κύβος.
Υποθέτω δεν μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες