Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

nickthegreek · #1

Έστω

μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,n

με

ώστε $\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2 \end{Bmatrix}$ .

2nisic · #2

nickthegreek έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 04, 2021 10:27 pm
Έστω μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι με ώστε $\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2 \end{Bmatrix}$ .

Με

#3

2nisic έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 05, 2021 7:23 am

nickthegreek έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 04, 2021 10:27 pm
Έστω μια πρωταρχική Πυθαγόρεια τριάδα (δηλαδή μια της οποίας οι όροι είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι με ώστε $\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2 \end{Bmatrix}$ .
Με

Σωστά, αλλά αυτό είναι προφανές αφού ο θεματοθέτης έχει θέσει ως συνθήκη ότι οι όροι της τριάδας είναι σχετικά πρώτοι.

Ας ασχοληθούν οι μαθητές μας που δεν γνωρίζουν ήδη την απάντηση. Η ίδια πάντως υπάρχει σε όλες τις Θεωρίες Αριθμών. Όταν κλείσει το θέμα θα δώσω παραπομπή στην παλαιότερη (εννοείται αρχαία Ελληνική) πηγή όπου υπάρχει πλήρης η απόδειξη. Περιέργως δεν είναι τόσο γνωστό το χωρίο παρ' όλο που είναι σε ιδιαίτερα πολυδιαβασμένο κείμενο.

2nisic · #4

Προφανώς ένας από τους x,y,

είναι άρτιος και οι άλλοι περιττοί.

(x+yi)(x-yi)=z^2

Έστω

τότε:

Αν

αδύνατο αφού z=odd

.(διότι

και ο

είναι πρώτος)

Αρα d|x

και

οπότε:

αλλά

άρα

.

Οπότε υπάρχουν a,b

τέτοιοι ώστε x+yi=(a+bi)^2

που δίνει

,

με αντικατάσταση έχουμε z=a^2+b^2

Υπάρχει και ποίο απλή λύση.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 05, 2021 7:45 am
Όταν κλείσει το θέμα θα δώσω παραπομπή στην παλαιότερη (εννοείται αρχαία Ελληνική) πηγή όπου υπάρχει πλήρης η απόδειξη. Περιέργως δεν είναι τόσο γνωστό το χωρίο παρ' όλο που είναι σε ιδιαίτερα πολυδιαβασμένο κείμενο.

Είναι στα Στοιχεία του Ευκελίδη, Βιβλίο Χ, Πρόταση 29.

#6

Η πιο απλή λύση στην οποία αναφέρεται ο Διονύσης είναι ουσιαστικά αυτή που δίνει σε παρόμοιο πρόβλημα ο Αλέξανδρος εδώ.

Αν πούμε ότι ο Διονύσης το έλυσε χρησιμοποιώντας πύραυλο (Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών) τότε στον πιο πάνω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε και μια λύση με πυρηνικό οπλισμό. (Με Θεωρία Galois. Εντελώς ακατάλληλη για μαθητές.)

Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Re: Πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες

Μέλη σε σύνδεση