Ψηφία από Εσθονία
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Ψηφία από Εσθονία
Καλούμε έναν θετικό ακέραιο των οποίων όλα τα ψηφία είναι διαφορετικά "bronze", αν ο είτε είναι μονοψήφιος είτε υπάρχει διαιρέτης του που προκύπτει σβήνοντας ένα ψηφίο του και είναι "bronze". Να βρεθεί ο μεγαλύτερος "bronze" θετικός ακέραιος. (υποθέτουμε ότι αριθμοί δεν ξεκινούν με )
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ψηφία από Εσθονία
Μήπως είναι η απάντηση 146250;
Αν γνωρίζει κάποιος, ας με επιβεβαιώσει και θα προσπαθήσω να βάλω λύση το συντομότερο.
Αν γνωρίζει κάποιος, ας με επιβεβαιώσει και θα προσπαθήσω να βάλω λύση το συντομότερο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ψηφία από Εσθονία
Ναι, η απάντηση είναι σωστή.
Από σύμπτωση ξέρω από παλαιότερα την άσκηση και την λύση της. Μας την είχε βάλει πριν από ενάμιση χρόνο ο Εσθονός συνάδελφος του Καγκουρό σε συνάντησή μας, για να μας ...παιδέψει (υπάρχουν και διαστροφές στον κόσμο). Μία ομάδα φίλων την λύσαμε από κοινού συνεργαζόμενοι στα διαλείμματα της συνάντησης. Δύσκολη άσκηση. Αν θυμάμαι καλά, ο Εσθονός "δράστης" μας είπε ότι ήταν θέμα από την τελική φάση της επιλογής της Εθνικής τους ομάδας για την ΙΜΟ ένα ή δύο χρόνια νωρίτερα.
Το πρώτο βήμα της λύσης είναι
.
Μετά πρέπει να ασχοληθείς με
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ψηφία από Εσθονία
Έγραψα μήνυμα στον εν λόγω Εσθονό, ο οποίος μου απάντησε επιβεβαιώνοντας τα περί της πηγής της άσκησης. Μου έστειλε και την σχετική ιστοσελίδα όπου υπάρχει. Θα την αναρτήσω όταν τελειώσει η εδώ συζήτηση.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Δεκ 29, 2020 11:21 pmΑπό σύμπτωση ξέρω από παλαιότερα την άσκηση και την λύση της. Μας την είχε βάλει πριν από ενάμιση χρόνο ο Εσθονός συνάδελφος του Καγκουρό σε συνάντησή μας, για να μας ...παιδέψει (υπάρχουν και διαστροφές στον κόσμο). Μία ομάδα φίλων την λύσαμε από κοινού συνεργαζόμενοι στα διαλείμματα της συνάντησης. Δύσκολη άσκηση. Αν θυμάμαι καλά, ο Εσθονός "δράστης" μας είπε ότι ήταν θέμα από την τελική φάση της επιλογής της Εθνικής τους ομάδας για την ΙΜΟ ένα ή δύο χρόνια νωρίτερα.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ψηφία από Εσθονία
Χρόνια Πολλά!DrStrange έγραψε: ↑Δευ Οκτ 05, 2020 8:46 pmΚαλούμε έναν θετικό ακέραιο των οποίων όλα τα ψηφία είναι διαφορετικά "bronze", αν ο είτε είναι μονοψήφιος είτε υπάρχει διαιρέτης του που προκύπτει σβήνοντας ένα ψηφίο του και είναι "bronze". Να βρεθεί ο μεγαλύτερος "bronze" θετικός ακέραιος. (υποθέτουμε ότι αριθμοί δεν ξεκινούν με )
Για ευκολία, θα ονομάζω τους αριθμούς καλούς αντί για bronze.
Αρχίζουμε με δύο Ισχυρισμούς.
Ισχυρισμός 1: Αν ο αριθμός είναι καλός, τότε και ο είναι καλός.
Απόδειξη: Προχωράμε με επαγωγή στο πλήθος των ψηφίων του . Αν ο είναι μονοψήφιος τότε είναι προφανές. Έστω πως ο έχει ψηφία και το ζητούμενο ισχύει για κάθε αριθμό με ψηφία.
Αν ο καλός διαιρέτης του προκύπτει σβήνοντας το μηδέν στο τέλος, τότε προφανώς έχουμε το ζητούμενο καθώς προκύπτει άμεσα ότι ο είναι καλός.
Αν τώρα σβήνουμε κάποιο άλλο ψηφίο, τότε προκύπτει ένας καλός αριθμός με ψηφία που λήγει σε , οπότε από την επαγωγική υπόθεση ο είναι καλός. Όμως, ο διαιρεί τον , καθώς ο διαιρεί τον . Επομένως ο έχει έναν καλό διαιρέτη που προκύπτει με σβήσιμο ενός του ψηφίου, άρα και ο είναι καλός
Ισχυρισμός 2: Αν ένας καλός αριθμός έχει πάνω από ψηφία και δεν διαιρείται με , τότε δεν γίνεται να προκύψει καλός διαιρέτης του σβήνοντας κάποιο ψηφίο εκτός των δύο πρώτων.
Απόδειξη: Έστω ο καλός αριθμός και έστω ότι σβήνουμε το ψηφίο με , οπότε προκύπτει ο αριθμός .
Έστω και . Τότε, και .
Παρατηρούμε ότι, . Είναι και , οπότε , όπου στο τέλος χρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι .
Επίσης, , καθώς ο είναι σίγουρα διψήφιος ενώ .
Συνεπώς και , άρα , που είναι άτοπο καθώς ο από την υπόθεση δεν διαιρείται με
Πίσω στο πρόβλημα.
Ισχυριζόμαστε ότι ο μοναδικός πενταψήφιος καλός αριθμός που δεν λήγει σε είναι ο .
Έστω ο πενταψήφιος καλός αριθμός. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις σχετικά με το ποιο ψηφίο σβήνουμε.
Σβήνουμε το . Τότε .
Αφού , ο δεν διαιρείται και από το και από το .
Αν διαιρείται μόνο από το , τότε πρέπει , άτοπο.
Άρα πρέπει να διαιρείται μόνο από το , δηλαδή .
Ο είναι πολλαπλάσιο του και περιττός, οπότε λήγει σε . Εξετάζοντας τώρα όλες τις περιπτώσεις , προκύπτουν οι αριθμοί , εκ των οποίων ο δεύτερος και ο τέταρτος απορρίπτονται λόγω επανάληψης ψηφίου, ενώ για τους υπόλοιπους μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι δεν είναι καλοί.
Σβήνουμε το . Οπότε πρέπει .
Ο αριθμός , άρα και ο δεν διαιρείται με το . Αν διαιρείται λοιπόν με το , τότε δεν διαιρείται με το και όπως πριν έχουμε εύκολα άτοπο. Άρα διαιρείται μόνο με το , οπότε .
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
- . Τότε , προφανώς άτοπο.
- . Τότε ο είναι σίγουρα περιττός, και επίσης .
Αν , τότε , οπότε διακρίνοντας μερικές εύκολες περιπτώσεις απορρίπτονται όλοι οι πιθανοί αριθμοί.
Αν τότε , οπότε πάλι διακρίνοντας περιπτώσεις προκύπτει ο .
Αν τότε οπότε απορρίπτονται οι πιθανοί αριθμοί ξανά.
- . Τότε, έχουμε ότι .
Επομένως, άρα . Οπότε είναι , άτοπο (αφού χρησιμοποιήσαμε το , πρέπει τα άλλα ψηφία να είναι μεγαλύτερα ή ίσα του , οπότε ).
Επομένως, η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Συνεχίζουμε την απόδειξη μελετώντας τους εξαψήφιους καλούς αριθμούς.
Αν ένας εξαψήφιος καλός αριθμός λήγει σε τότε από τον Ισχυρισμό 1 ο είναι επίσης καλός. Καθώς είναι και πενταψήφιος αριθμός και δεν λήγει σε (οι καλοί αριθμοί έχουν ανά δύο τα ψηφία τους διαφορετικά), από το πιο πάνω έχουμε ότι . Αν πάλι ο δεν λήγει σε , τότε έστω και μπορούμε από τον Ισχυρισμό 2 να σβήσουμε είτε το είτε το . Σε κάθε περίπτωση, ο πενταψήφιος καλός αριθμός που θα προκύψει δεν λήγει σε , άρα είναι ο . Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:
Αν σβήσουμε τον , τότε πρέπει , άτοπο.
Αν σβήσουμε τον , τότε πρέπει , άτοπο.
Σε κάθε περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο, άρα ο μόνος καλός εξαψήφιος είναι ο .
Αν πάμε στους εφταψήφιους τώρα, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Αν ο εφταψήφιος τελειώνει σε μηδέν, τότε ο είναι καλός άρα από τα προηγούμενα πρέπει οπότε που είναι άτοπο καθώς οι καλοί αριθμοί έχουν τα ψηφία τους διαφορετικά.
Αν δεν τελειώνει σε μηδέν τότε σβήνοντας ένα ψηφίο του προκύπτει ένας εξαψήφιος καλός αριθμός που δεν λήγει σε μηδέν, κάτι το οποίο δεν γίνεται να συμβαίνει όπως δείξαμε πριν.
Άρα επταψήφιοι καλοί αριθμοί δεν υπάρχουν. Είναι σαφές όμως ότι ούτε οκταψήφιοι, εννιαψήφιοι ή δεκαψήφιοι γίνεται να υπάρχουν (εντεκαψήφιοι και άνω δεν γίνεται ούτως ή άλλως καθώς από αρχή περιστεροφωλιάς θα υπάρχουν δύο ψηφία ίσα).
Συνεπώς, ο μεγαλύτερος καλός αριθμός είναι πράγματι ο .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ψηφία από Εσθονία
Γιάννη, έχεις την εν λόγω λύση;
Είχα υποσχεθεί ότι θα αναρτήσω λινκ στην επίσημη λύση, όταν τελειώσει η εδώ συζήτηση.
Re: Ψηφία από Εσθονία
Θα επιρρίψω την καθυστέρησή μου στα ζόρια της Γ Λυκείου.
Είναι μάλλον πανομοιότυπη με αυτήν του Ορέστη και απολογούμαι για την υπόσχεση που δεν τήρησα.
Είναι μάλλον πανομοιότυπη με αυτήν του Ορέστη και απολογούμαι για την υπόσχεση που δεν τήρησα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ψηφία από Εσθονία
Ιερός ο σκοπός και σου εύχομαι ολόψυχα καλό διάβασμα και καλή επιτυχία.
Η παραπομπή που υποσχέθηκα είναι στην σελίδα , άσκηση εδώ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες