Διαιρετότητα με το 2020

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Διαιρετότητα με το 2020

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μαρ 17, 2020 8:00 pm

Μετά τη διαιρετότητα με το 1989, ακολουθεί μια με το 2020.

Αν \displaystyle{n} θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι o

\displaystyle{n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}-n^{n^{n^{n^{n}}}}}}

διαιρείται με το \displaystyle{2020.}

:lol: :lol: :lol:


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 733
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διαιρετότητα με το 2020

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μαρ 17, 2020 11:03 pm

matha έγραψε:
Τρί Μαρ 17, 2020 8:00 pm
Μετά τη διαιρετότητα με το 1989, ακολουθεί μια με το 2020.

Αν \displaystyle{n} θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι o

\displaystyle{n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}-n^{n^{n^{n^{n}}}}}}

διαιρείται με το \displaystyle{2020.}

:lol: :lol: :lol:
Είναι 2020=2^2\cdot 5\cdot 101.Αρχικά θα δείξω ότι n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}} \equiv n^{n^{n^{n^{n}}}}}\pmod4.
Αρκεί n^{n^{n^{n^{n}}}}\equiv n^{n^{n^{n}}}\pmod{\varphi (4)} και αφού \varphi (4)=2 είναι άμμεσο.
Επίσης θα δείξω πως n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}\equiv n^{n^{n^{n^{n}}}}\pmod5.Είναι \varphi (5)=4 άρα αρκεί n^{n^{n^{n^{n}}}}\equiv n^{n^{n^{n}}}\pmod4 το οποίο ισχύει καθώς n^{n^{n^{n}}}\equiv n^{n^{n}}\pmod{\varphi (4)}
Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}} \equiv n^{n^{n^{n^{n}}}}}\pmod{101}.Επειδή \varphi (101)=100 για να ισχύει αυτό αρκεί
n^{n^{n^{n^{n}}}} \equiv n^{n^{n^{n}}}}\pmod{100}
Όπως πριν δείχνουμε ότι n^{n^{n^{n^{n}}}} \equiv n^{n^{n^{n}}}}\pmod{4} άρα μένει να δειχθεί ότι n^{n^{n^{n^{n}}}} \equiv n^{n^{n^{n}}}}\pmod{25}.
Αφού \varphi (25)=20 αρκεί n^{n^{n^{n}}} \equiv n^{n^{n}}}\pmod{20}.
Είναι n^{n^{n}}\equiv n^{n}} \pmod2 άρα n^{n^{n^{n}}} \equiv n^{n^{n}}}\pmod{4}.
Μένει να δειχθεί ότι n^{n^{n}}\equiv n^{n}} \pmod4 και αυτό γιατί \varphi (5)=4.
Για να ισχύει αυτό αρκεί n^{n}\equiv n \pmod 2 το οποίο ισχύει και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης