Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί της μορφής που είναι τέλεια τετράγωνα, με n φυσικό.
Πρόκειται για πρόβλημα που βρήκα στο aops, αλλά κανείς δεν έχει δημοσιεύσει λύση.
Πρόκειται για πρόβλημα που βρήκα στο aops, αλλά κανείς δεν έχει δημοσιεύσει λύση.
Δημήτρης Μηνάγιας
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Κανένα νέο για την εξίσωση? Έχω κάποιες ιδέες αλλά ξεφεύγουν από το πλαίσιο των διαγωνισμών, θα μπορούσα να πω και από το πλαίσιο προπτυχιακών γνώσεων. Δυστυχώς δεν μπόρεσα να βρω κάποια λύση με στοιχειώδεις τεχνικές. Είναι ακόμη άλυτη στο aops?
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Δοκίμασα και με αλγεβρική θεωρία αριθμών (φαντάζομαι σε αυτό αναφέρεται ο bouzoukman) αλλά κολλάω στο γεγονός ότι στο υπάρχουν άπειρες μονάδες.
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Πολύ πιθανό να κάνω πατάτα (...) αλλά δεν παρακάμπτεται αυτό με τις μονάδες;
Είναι αρχικά πέρα από την τετριμμένη λύση περιττό.
Το παραγοντοποιείται σε .
(Το είναι UFD).
Τα βγαίνουν πρώτα μεταξύ τους:Αν
ένας κοινός διαιρέτης τους τότε η νόρμα του θα διαιρεί το ,ενώ παράλληλα και άρα η νόρμα του διαιρεί το 12,δηλαδή μονάδα.
Έτσι είναι ή
όπου μονάδα και η συζυγής της.
Παίρνοντας την πρώτη περίπτωση και αθροίζοντας/αφαιρώντας τις δύο σχέσεις και εξισώνοντας τους συντελεστές έχουμε ( περιττό):
.
Έτσι π.χ. δηλαδή δηλαδή για διάφορο του ,.Όμως τα είναι λύσεις της () και συνεπώς ο λόγος προσεγγίζει το (μάλιστα για θετικά η μεγαλύτερη τιμή που θα πάρει είναι το ).Έτσι για σίγουρα δεν υπάρχουν λύσεις ενώ τις υπόλοιπες περιπτώσεις τις τσεκάρουμε με το χέρι από όπου παίρνουμε και την .
Η άλλη περίπτωση δε βγάζει λύση.
Που έχω λάθος;
Είναι αρχικά πέρα από την τετριμμένη λύση περιττό.
Το παραγοντοποιείται σε .
(Το είναι UFD).
Τα βγαίνουν πρώτα μεταξύ τους:Αν
ένας κοινός διαιρέτης τους τότε η νόρμα του θα διαιρεί το ,ενώ παράλληλα και άρα η νόρμα του διαιρεί το 12,δηλαδή μονάδα.
Έτσι είναι ή
όπου μονάδα και η συζυγής της.
Παίρνοντας την πρώτη περίπτωση και αθροίζοντας/αφαιρώντας τις δύο σχέσεις και εξισώνοντας τους συντελεστές έχουμε ( περιττό):
.
Έτσι π.χ. δηλαδή δηλαδή για διάφορο του ,.Όμως τα είναι λύσεις της () και συνεπώς ο λόγος προσεγγίζει το (μάλιστα για θετικά η μεγαλύτερη τιμή που θα πάρει είναι το ).Έτσι για σίγουρα δεν υπάρχουν λύσεις ενώ τις υπόλοιπες περιπτώσεις τις τσεκάρουμε με το χέρι από όπου παίρνουμε και την .
Η άλλη περίπτωση δε βγάζει λύση.
Που έχω λάθος;
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Καλησπέρα.
Εγώ είμαι μαθητης της Α Λυκείου, άρα ο τρόπος που νομίζω τουλάχιστον έχω προσεγγίσει την άσκηση είναι πιο στοιχειώδης.
Επίσης, συγγνώμη αν κάνω λάθος με το LATEX, γιατί είμαι νέος χρήστης του mathematica.
Ξεκινάμε, λοιπόν.
Αρχικά, παρατηρώ ότι λύση είναι η (n,a)=(1,4)
Αρκεί Έστω ότι n=2k. Τότε, , ή
Άρα, και
Επομένως, k=0 και a=2.
Έστω ότι n=2k+1.
Κάνω τον εξής μετασχηματισμό: το είναι στην ουσία 12b+1+3=12b+4, όπου το b είναι πολ4 (αυτό προκύπτει αν εφαρμόσω το ανάπτυγμα του Newton).
Άρα, η εξίσωση γίνεται , δηλαδή , άρα m περιττός.
Τώρα θα πάρω την αρχική σχέση mod16.
Μετά από δοκιμές παρατηρώ ότι τα υπόλοιπα της διαίρεσης του με το 16 είναι-3,9,5,1,-3...αντίστοιχα.
Άρα, έχω ότι οι περιττοί εκθέτες δίνουν υπόλοιπα -3 και 5.
Όμως τα τέλεια τετράγωνα δίνουν από το 16 υπόλοιπα 0,1,4,9.
Άρα στο ο εκθέτης πρέπει να είναι 5,9,13... και το θα είναι πολ16.
Όμως παραπάνω έδειξα ότι η μεγιστοβάθμια δύναμη του που διαιρεί το , δηλαδή το
είναι το 2 (δηλαδή ο αριθμός 4). Άρα, το 16 δεν μπορεί να διαιρεί το .
Άτοπο!
Επαναλαμβάνω ότι δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστά αυτά που γράφω. Περιμένω από εσάς τους πιο έμπειρους να αξιολογήσετε την λύση μου!
Εγώ είμαι μαθητης της Α Λυκείου, άρα ο τρόπος που νομίζω τουλάχιστον έχω προσεγγίσει την άσκηση είναι πιο στοιχειώδης.
Επίσης, συγγνώμη αν κάνω λάθος με το LATEX, γιατί είμαι νέος χρήστης του mathematica.
Ξεκινάμε, λοιπόν.
Αρχικά, παρατηρώ ότι λύση είναι η (n,a)=(1,4)
Αρκεί Έστω ότι n=2k. Τότε, , ή
Άρα, και
Επομένως, k=0 και a=2.
Έστω ότι n=2k+1.
Κάνω τον εξής μετασχηματισμό: το είναι στην ουσία 12b+1+3=12b+4, όπου το b είναι πολ4 (αυτό προκύπτει αν εφαρμόσω το ανάπτυγμα του Newton).
Άρα, η εξίσωση γίνεται , δηλαδή , άρα m περιττός.
Τώρα θα πάρω την αρχική σχέση mod16.
Μετά από δοκιμές παρατηρώ ότι τα υπόλοιπα της διαίρεσης του με το 16 είναι-3,9,5,1,-3...αντίστοιχα.
Άρα, έχω ότι οι περιττοί εκθέτες δίνουν υπόλοιπα -3 και 5.
Όμως τα τέλεια τετράγωνα δίνουν από το 16 υπόλοιπα 0,1,4,9.
Άρα στο ο εκθέτης πρέπει να είναι 5,9,13... και το θα είναι πολ16.
Όμως παραπάνω έδειξα ότι η μεγιστοβάθμια δύναμη του που διαιρεί το , δηλαδή το
είναι το 2 (δηλαδή ο αριθμός 4). Άρα, το 16 δεν μπορεί να διαιρεί το .
Άτοπο!
Επαναλαμβάνω ότι δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστά αυτά που γράφω. Περιμένω από εσάς τους πιο έμπειρους να αξιολογήσετε την λύση μου!
Δημήτρης Μηνάγιας
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Καλωσήρθες στο !
Δυστυχώς το τελευταίο επιχείρημά σου δεν ισχύει. Ειδικότερα όταν ο είναι περιττός, η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το είναι το , οπότε το πρακτικά είναι περιττός.
Άλλωστε, αν ίσχυε το επιχείρημά σου, δεν θα προέκυπτε και η τετριμμένη λύση για .
Houston, we have a problem!
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Όμως εγώ δεν είπα για διαιρέτες του αλλά του
Επίσης, προκύπτει ότι από το διώνυμο του Νεύτωνα ότι
Άρα, νομίζω ότι μάλλον μπορώ να κάνω τον μετασχηματισμό.
Επίσης, προκύπτει ότι από το διώνυμο του Νεύτωνα ότι
Άρα, νομίζω ότι μάλλον μπορώ να κάνω τον μετασχηματισμό.
Δημήτρης Μηνάγιας
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Ναι όμως το το έγραψες , άρα το αναφερόταν στο , δηλαδή (υποθέτω) εννοούσες . Εδώ το προκύπτει περιττό για περιττό (LTE)
Houston, we have a problem!
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Α, τώρα κατάλαβα! Θα διορθώσω την λύση και θα την αναδημοσιεύσω!
Σε ευχαριστώ πολύ Διονύση Αδαμόπουλε!
Σε ευχαριστώ πολύ Διονύση Αδαμόπουλε!
Δημήτρης Μηνάγιας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
min## έγραψε: ↑Τρί Μάιος 28, 2019 7:11 pmΠαίρνοντας την πρώτη περίπτωση και αθροίζοντας/αφαιρώντας τις δύο σχέσεις και εξισώνοντας τους συντελεστές έχουμε ( περιττό):
.
Έτσι π.χ. δηλαδή δηλαδή για διάφορο του ,.Όμως τα είναι λύσεις της () και συνεπώς ο λόγος προσεγγίζει το (μάλιστα για θετικά η μεγαλύτερη τιμή που θα πάρει είναι το ).Έτσι για σίγουρα δεν υπάρχουν λύσεις ενώ τις υπόλοιπες περιπτώσεις τις τσεκάρουμε με το χέρι από όπου παίρνουμε και την .
Η άλλη περίπτωση δε βγάζει λύση.
Που έχω λάθος;
Η αλήθεια είναι ότι φοβήθηκα να το δοκιμάσω. Πέραν κάποιων λάνθασμένων προσήμων (είναι π.χ. και όχι ) τα οποία όμως δεν είναι σημαντικά, νομίζω το κυριότερο πρόβλημα είναι ότι ξεχάστηκαν οι διωνυμικοί συντελεστές. Στο πρώτο άθροισμα λείπουν τα και στο δεύτερο τα . Αυτό χαλάει το γεγονός ότι το ένα είναι τετραπλάσιο του άλλου.
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Α τέλεια .Λέω και γω,κάτι δεν μου κολλάει.Ευχαριστώ πάντως,θα το ξανακοιτάξω μπας και..
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Demetres έγραψε: ↑Τετ Μάιος 29, 2019 9:57 ammin## έγραψε: ↑Τρί Μάιος 28, 2019 7:11 pmΠαίρνοντας την πρώτη περίπτωση και αθροίζοντας/αφαιρώντας τις δύο σχέσεις και εξισώνοντας τους συντελεστές έχουμε ( περιττό):
.
Έτσι π.χ. δηλαδή δηλαδή για διάφορο του ,.Όμως τα είναι λύσεις της () και συνεπώς ο λόγος προσεγγίζει το (μάλιστα για θετικά η μεγαλύτερη τιμή που θα πάρει είναι το ).Έτσι για σίγουρα δεν υπάρχουν λύσεις ενώ τις υπόλοιπες περιπτώσεις τις τσεκάρουμε με το χέρι από όπου παίρνουμε και την .
Η άλλη περίπτωση δε βγάζει λύση.
Που έχω λάθος;
Η αλήθεια είναι ότι φοβήθηκα να το δοκιμάσω. Πέραν κάποιων λάνθασμένων προσήμων (είναι π.χ. και όχι ) τα οποία όμως δεν είναι σημαντικά, νομίζω το κυριότερο πρόβλημα είναι ότι ξεχάστηκαν οι διωνυμικοί συντελεστές. Στο πρώτο άθροισμα λείπουν τα και στο δεύτερο τα . Αυτό χαλάει το γεγονός ότι το ένα είναι τετραπλάσιο του άλλου.
Με προλάβατε! Σε κάθε περίπτωση η προσέγγιση του min## είναι πολύ ωραία! Η δικιά μου προσέγγιση είναι πιο υπολογιστική με πρώτο βήμα να δώσω ένα άνω φράγμα για το και ύστερα είναι εύκολο (με υπολογιστή) να βρούμε τις λύσεις. Πιστεύω να βρω χρόνο μέσα στο ΣΚ να γράψω τις λεπτομέρειες.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Αρα, δεν υπάρχει λύση διαγωνιστικων μαθηματικών; Χρειάζονται παραπάνω γνώσεις;
Δημήτρης Μηνάγιας
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Καλησπέρα. Όντας νέο μέλος παρακαλώ συγχωρέστε τα οποιαδήποτε λάθη σε Latex και αν υπάρχει λάθος παρακαλώ να αναφερθεί.
Έστω:
Αν τότε προκύπτει εύκολα η λύση .
Αν :
Ακόμη:
Έστω . Τότε αφού
Έστω (αφού από την υπόθεση τότε και άρα ). Η γίνεται:
Έστω:
Τότε ως διαδοχικοί άρτιοι.
Τότε:
Έστω .
Τότε .
Αφού και τότε:
ή
Άτοπο καθώς
Οπότε: .
Άρα:
Ομοίως: ή
Έστω:
Τότε:
Αντικαθιστώντας όπου η ανίσωση μετατρέπεται στην:
Λύνοντας αρκεί: που είναι άτοπο.
Άρα έχουμε ότι: οπότε δεν ισχύει η αρχική υπόθεση .
Επομένως απ' όπου εύκολα λαμβάνουμε τη λύση .
Έστω:
Αν τότε προκύπτει εύκολα η λύση .
Αν :
Ακόμη:
Έστω . Τότε αφού
Έστω (αφού από την υπόθεση τότε και άρα ). Η γίνεται:
Έστω:
Τότε ως διαδοχικοί άρτιοι.
Τότε:
Έστω .
Τότε .
Αφού και τότε:
ή
Άτοπο καθώς
Οπότε: .
Άρα:
Ομοίως: ή
Έστω:
Τότε:
Αντικαθιστώντας όπου η ανίσωση μετατρέπεται στην:
Λύνοντας αρκεί: που είναι άτοπο.
Άρα έχουμε ότι: οπότε δεν ισχύει η αρχική υπόθεση .
Επομένως απ' όπου εύκολα λαμβάνουμε τη λύση .
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Δεν είναι σωστό. Ουσιαστικά λες ότι αν με τότε ή . Βάλε όπου το , , .miltosk έγραψε: ↑Τετ Μάιος 29, 2019 9:11 pmΚαλησπέρα. Όντας νέο μέλος παρακαλώ συγχωρέστε τα οποιαδήποτε λάθη σε Latex και αν υπάρχει λάθος παρακαλώ να αναφερθεί.
Έστω:
Αν τότε προκύπτει εύκολα η λύση .
Αν :
Ακόμη:
Έστω . Τότε αφού
Έστω (αφού από την υπόθεση τότε και άρα ). Η γίνεται:
Έστω:
Τότε ως διαδοχικοί άρτιοι.
Τότε:
Έστω .
Τότε .
Αφού και τότε:
ή
Άτοπο καθώς
Οπότε: .
Άρα:
Ομοίως: ή
Έστω:
Τότε:
Αντικαθιστώντας όπου η ανίσωση μετατρέπεται στην:
Λύνοντας αρκεί: που είναι άτοπο.
Άρα έχουμε ότι: οπότε δεν ισχύει η αρχική υπόθεση .
Επομένως απ' όπου εύκολα λαμβάνουμε τη λύση .
Bye :')
Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Έχεις απόλυτο δίκιο. Θα προσπαθήσω να δω αν γίνεται να αποδειχθεί αυτό υπό κάποιες συνθήκες διαφορετικά μάλλον θα πρέπει να απορριφθεί η λύση.JimNt. έγραψε: ↑Τετ Μάιος 29, 2019 9:48 pmΔεν είναι σωστό. Ουσιαστικά λες ότι αν με τότε ή . Βάλε όπου το , , .miltosk έγραψε: ↑Τετ Μάιος 29, 2019 9:11 pmΚαλησπέρα. Όντας νέο μέλος παρακαλώ συγχωρέστε τα οποιαδήποτε λάθη σε Latex και αν υπάρχει λάθος παρακαλώ να αναφερθεί.
Έστω:
Αν τότε προκύπτει εύκολα η λύση .
Αν :
Ακόμη:
Έστω . Τότε αφού
Έστω (αφού από την υπόθεση τότε και άρα ). Η γίνεται:
Έστω:
Τότε ως διαδοχικοί άρτιοι.
Τότε:
Έστω .
Τότε .
Αφού και τότε:
ή
Άτοπο καθώς
Οπότε: .
Άρα:
Ομοίως: ή
Έστω:
Τότε:
Αντικαθιστώντας όπου η ανίσωση μετατρέπεται στην:
Λύνοντας αρκεί: που είναι άτοπο.
Άρα έχουμε ότι: οπότε δεν ισχύει η αρχική υπόθεση .
Επομένως απ' όπου εύκολα λαμβάνουμε τη λύση .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες