ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Μάιος 25, 2019 2:13 am

Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση:

\displaystyle{3^x +y^2 = 2^y}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μάιος 25, 2019 2:44 am

Οι περιπτώσεις όπου τα x,y είναι αρνητικά ή ένας εκ των δύο είναι αρνητικός, είναι τετριμμένες.
Αν τώρα x,y>0 έχουμε \mod 3 ότι y^2\equiv (-1)^y\pmod{3}, άρα πρέπει y άρτιος. Τότε όμως από την αρχική εξίσωση 3^x άρτιος, άτοπο.

Αν τώρα x=0, έχουμε 1+y^2=2^y, που για y\geq 2 είναι άτοπο, αφού το -1 βγαίνει τετραγωνικό κατάλοιπο, οπότε y=0 ή y=1.
Αν y=0, τότε μόνη περίπτωση x=0.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης