Μια διαιρετότητα!

#1

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ , ώστε ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}}$

να είναι ακέραιος.

Ορέστης Λιγνός · #2

matha έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 10, 2019 11:31 pm
Nα βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ , ώστε ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}}$

να είναι ακέραιος.

Καλησπέρα Θάνο.

Θέλουμε, $n^3+n^2+n+1 \mid 10^n=2^n \cdot 5^n$ , και αφού n^3+n^2+n+1=(n^2+1)(n+1)

, πρέπει $n^2+1=2^a \cdot 5^b$ και $n+1=2^c \cdot 5^d$ , με $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ .

Επίσης, πρέπει $a+c \leqslant n , \, b+d \leqslant n$ .

Αν $a \geqslant 2$ , τότε $n^2+1 \equiv 0 \pmod 4$ , που είναι άτοπο, αφού το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\pmod 4$ .

Άρα, $a \in \{0, 1 \}$ .

Επίσης, αν $b,d \geqslant 1$ , τότε $5 \mid n+1 \Rightarrow n \equiv 4 \pmod 4 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \pmod 5$ , άτοπο, αφού $n^2 \equiv -1 \pmod 5$ .

Επομένως, $\min \{b,d \}=0$ .

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

Περίπτωση 1 a=0

.

Αν

, τότε

, άτοπο.

Αν d=0

, τότε

, οπότε $n^2 \equiv n \pmod 2 \Rightarrow 5^b \equiv 2^c \pmod 2$ , άτοπο, εκτός και αν b=0

ή

. Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν άτοπα.

Περίπτωση 2 a=1

.

Αν

, τότε $n^2+1=2 \Rightarrow n=1$ , που δεν αποτελεί λύση (επαληθεύοντας).

Αν d=0

, τότε $n^2+1=2 \cdot 5^b, n+1=2^c$ , οπότε εύκολα σχηματίζουμε την εξίσωση $2^{2c-1}-2^c+1=5^b$ .

Αν $c \in \{0,1,2,3 \}$ , τότε εύκολα προκύπτουν οι λύσεις n=3, n=7

.
Έστω τώρα $c \geqslant 4$ .
Έστω, ότι $2^k \mid \mid b$ (το σύμβολο $\mid \mid$ συμβολίζει την μέγιστη δύναμη ενός πρώτου που διαιρεί έναν αριθμό).

Είναι $2^c(2^{c-1}-1)=5^b-1^b$ , άρα $2^c \mid \mid 5^b-1^b$ . Επίσης, $2^2 \mid \mid \dfrac{5^2-1^2}{2}$ .

Τότε, από το LTE (Lifting The Exponent Lemma) έχουμε πως, c=2+k

.

Συνεπώς, $2^{c-2} \mid \mid b$ , άρα $b \geqslant 2^{c-2} \Rightarrow 2^{2c-1}-2^c+1 \geqslant 5^{2^{c-2}}$ , που είναι προφανώς άτοπο για $c \geqslant 4$ .

Πράγματι, επαγωγικά είναι $2^{c-1} \geqslant 2c-1$ , οπότε $5^{2^{c-2}}+2^c-1 \geqslant 4^{2^{c-2}}=2^{2^{c-1}} \geqslant 2^{2c-1}$ .

Τελικά, μόνες λύσεις οι n=3

και

.

Μια διαιρετότητα!

Μια διαιρετότητα!

Re: Μια διαιρετότητα!

Μέλη σε σύνδεση