Μια διαιρετότητα!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Μια διαιρετότητα!
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , ώστε ο αριθμός
να είναι ακέραιος.
να είναι ακέραιος.
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μια διαιρετότητα!
Καλησπέρα Θάνο.
Θέλουμε, , και αφού , πρέπει και , με .
Επίσης, πρέπει .
Αν , τότε , που είναι άτοπο, αφού το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο .
Άρα, .
Επίσης, αν , τότε , άτοπο, αφού .
Επομένως, .
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.
Περίπτωση 1 .
Αν , τότε , άτοπο.
Αν , τότε , οπότε , άτοπο, εκτός και αν ή . Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν άτοπα.
Περίπτωση 2 .
Αν , τότε , που δεν αποτελεί λύση (επαληθεύοντας).
Αν , τότε , οπότε εύκολα σχηματίζουμε την εξίσωση .
Αν , τότε εύκολα προκύπτουν οι λύσεις .
Έστω τώρα .
Έστω, ότι (το σύμβολο συμβολίζει την μέγιστη δύναμη ενός πρώτου που διαιρεί έναν αριθμό).
Είναι , άρα . Επίσης, .
Τότε, από το LTE (Lifting The Exponent Lemma) έχουμε πως, .
Συνεπώς, , άρα , που είναι προφανώς άτοπο για .
Πράγματι, επαγωγικά είναι , οπότε .
Τελικά, μόνες λύσεις οι και .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες