matha έγραψε: ↑Παρ Μάιος 10, 2019 11:31 pm
Nα βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι
, ώστε ο αριθμός
να είναι ακέραιος.
Καλησπέρα Θάνο.
Θέλουμε,
, και αφού
, πρέπει
και
, με
.
Επίσης, πρέπει
.
Αν
, τότε
, που είναι άτοπο, αφού το
δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο
.
Άρα,
.
Επίσης, αν
, τότε
, άτοπο, αφού
.
Επομένως,
.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.
Περίπτωση 1 .
Αν
, τότε
, άτοπο.
Αν
, τότε
, οπότε
, άτοπο, εκτός και αν
ή
. Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν άτοπα.
Περίπτωση 2 .
Αν
, τότε
, που δεν αποτελεί λύση (επαληθεύοντας).
Αν
, τότε
, οπότε εύκολα σχηματίζουμε την εξίσωση
.
Αν
, τότε εύκολα προκύπτουν οι λύσεις
.
Έστω τώρα
.
Έστω, ότι
(το σύμβολο
συμβολίζει την μέγιστη δύναμη ενός πρώτου που διαιρεί έναν αριθμό).
Είναι
, άρα
. Επίσης,
.
Τότε, από το LTE (Lifting The Exponent Lemma) έχουμε πως,
.
Συνεπώς,
, άρα
, που είναι προφανώς άτοπο για
.
Πράγματι, επαγωγικά είναι
, οπότε
.
Τελικά, μόνες λύσεις οι
και
.