Τέλειος κύβος

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Τέλειος κύβος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2^n + 3^n δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού n.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Τέλειος κύβος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Φεβ 17, 2019 1:39 pm

Chagi έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2^n + 3^n δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού n.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.
Η Άσκηση είναι απλή για n=1 άτοπο οπότε θα δουλέψουμε για n\geq 2, 2^{n}+3^{n}=k^{2} ΜΕ k περιττό ακέραιο που προφανώς δεν διαιρείται με το 2,3 οπότε έχουμε 2^{n}\equiv k^{2}\equiv 1(mod3) άρα n περιττός έστω n=2a+1 με a με θετικός ακέραιος τότε 2^{n}+3^{n}=2\cdot 4^{a}+3\cdot 9^{a}=k^{2}\Leftrightarrow 3\equiv k^{2}\equiv 1(mod4) άτοπο άρα δεν υπάρχει τέτοιο n


Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Τέλειος κύβος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Κυρ Φεβ 17, 2019 1:50 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:39 pm
Chagi έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2^n + 3^n δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού n.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.
Η Άσκηση είναι απλή για n=1 άτοπο οπότε θα δουλέψουμε για n\geq 2, 2^{n}+3^{n}=k^{2} ΜΕ k περιττό ακέραιο που προφανώς δεν διαιρείται με το 2,3 οπότε έχουμε 2^{n}\equiv k^{2}\equiv 1(mod3) άρα n περιττός έστω n=2a+1 με a με θετικός ακέραιος τότε 2^{n}+3^{n}=2\cdot 4^{a}+3\cdot 9^{a}=k^{2}\Leftrightarrow 3\equiv k^{2}\equiv 1(mod4) άτοπο άρα δεν υπάρχει τέτοιο n
Σωστά αλλά, θέλουμε κύβο όχι τετράγωνο.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τέλειος κύβος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 17, 2019 2:12 pm

Chagi έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2^n + 3^n δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού n.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.
Για n=1 πράγματι δεν έχουμε κύβο.

Για n\geq 2, παίρνοντας \pmod{9}, προκύπτει ότι 2^n\equiv \pm 1 \pmod{9}, άρα εύκολα προκύπτει ότι το n διαιρείται με το 3.

Από το τελευταίο θεώρημα του Fermat έχουμε άτοπο (μην με κράξετε :) ), άρα δεν έχουμε λύσεις.


Αλλιώς:

Έχουμε n=3k:

m^3=(2^k)^3+(3^k)^3\Leftrightarrow (m-2^k)(m^2+4^k+m\cdot 2^k)=(3^k)^3.

Άρα πρέπει m-2^k=3^l, l\geq 0 και m^2+4^k+m\cdot 2^k=3^v, με v>1, αφού m^2+4^k+m\cdot 2^k>3.

Θέτοντας m=3^l+2^k, έχουμε (3^l+2^k)^2+4^k+(3^l+2^k)2^k=3^v\Leftrightarrow 9^l+3\cdot 4^{k}+3\cdot 2^k3^l=3^v, v>1.

Πρέπει το 9^l+3\cdot 4^{k}+3\cdot 2^k3^l να διαιρείται με το 9. Αν l=0 τότε δεν διαιρείται με το 3, ενώ αν l>0 τότε είναι ισοϋπόλοιπο με 3 \pmod{9}.

Άρα δεν έχουμε λύσεις...
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Κυρ Φεβ 17, 2019 2:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τέλειος κύβος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Φεβ 17, 2019 2:20 pm

Πολλά θες :D :D :first: :first: :first: :lol:
Πάντως με αυτήν την παρατήρηση(ότι 3/n) το ζητούμενο είναι άμεσο.Αν n=2k με mod 7 και το άλλο του Φερμά καταλήγουμε με κυβικά υπόλοιπα σε άτοπο.Ομοίως και για n περιττό..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης