Εύρεση τριών ακεραίων!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6172
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Εύρεση τριών ακεραίων!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Δεκ 30, 2018 9:35 pm

Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι \displaystyle{a,b,c,} για τους οποίους ισχύει

\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{2019}.}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11486
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση τριών ακεραίων!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 30, 2018 10:16 pm

matha έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 9:35 pm
Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι \displaystyle{a,b,c,} για τους οποίους ισχύει

\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2019}.}
Απάντηση: Μόνο οι τετριμμένες λύσεις a=b=0, \, c=2019 και αναδιατάξεις της.

Γράφουμε \displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2019}- \sqrt{c} και υψώνουμε στο τετράγωνο. Έπεται

\displaystyle{a+b + 2\sqrt {ab}= 2019 + c -2\sqrt {2019c} } και άρα για κάποιον ακέραιο A είναι

\displaystyle{ 2\sqrt {ab}= A -2\sqrt {2019c} } .

Υψώνουμε ξανά στο τετράγωνο οπότε για κάποιους ακέραιους B, \, C είναι \displaystyle{ B = C\sqrt {2019c}}. Έπεται ότι ο

\displaystyle{2019c = 3\cdot 673\cdot c} πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Εδώ οι 3, \, 673 είναι πρώτοι οπότε ο c πρέπει να τους περιέχει ως
παράγοντες. Δεδομένου ότι c\le 2019 (από την αρχική), έχουμε c=3\cdot 673= 2019 (δεν χωράει άλλος παράγοντας). Τελειώσαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες