Άγνωστοι εκθέτες

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Άγνωστοι εκθέτες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Νοέμ 07, 2018 2:24 pm

Αν a,b,c\in \mathbb{N} με 12,8 δεν διαιρούν το c να λύθει ή εξίσωση

50^{a}+21^{b}=37^{c}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 735
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Άγνωστοι εκθέτες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Νοέμ 07, 2018 7:52 pm

Έστω a, b>0:

Παίρνοντας \pmod{5}, έχουμε 1\equiv 2^c \pmod{5}, οπότε προκύπτει ότι c=4k, όπου k μη αρνητικός ακέραιος.

Παίρνοντας \pmod{7}, έχουμε ότι 1\equiv 2^c \pmod{7}, οπότε προκύπτει ότι c=3l, όπου l μη αρνητικός ακέραιος.

Άρα 12|c, άτοπο.

Δεν ξέρω αν εδώ στο N περιέχεται το 0, αλλά αντιμετωπίζονται εύκολα και οι υπόλοιπες περιπτώσεις:

Έστω a=0:

1+21^b=37^c, άτοπο από Catalan.

Έστω b=0:

50^a+1=37^c, άτοπο από Catalan.


Houston, we have a problem!
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Άγνωστοι εκθέτες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Νοέμ 07, 2018 8:03 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τετ Νοέμ 07, 2018 7:52 pm
Έστω a, b>0:

Παίρνοντας \pmod{5}, έχουμε 1\equiv 2^c \pmod{5}, οπότε προκύπτει ότι c=4k, όπου k μη αρνητικός ακέραιος.

Παίρνοντας \pmod{7}, έχουμε ότι 1\equiv 2^c \pmod{7}, οπότε προκύπτει ότι c=3l, όπου l μη αρνητικός ακέραιος.

Άρα 12|c, άτοπο.

Δεν ξέρω αν εδώ στο N περιέχεται το 0, αλλά αντιμετωπίζονται εύκολα και οι υπόλοιπες περιπτώσεις:

Έστω a=0:

1+21^b=37^c, άτοπο από Catalan.

Έστω b=0:

50^a+1=37^c, άτοπο από Catalan.
:10sta10:

για την άσκηση ξέχασα να ελέγξω αν χρειαζόταν το 8 διαιρεί το c


min##
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Άγνωστοι εκθέτες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Νοέμ 07, 2018 8:23 pm

Λίγο σεμνότερα(η Catalan είναι αμαρτία):Με mod4,mod 3αντίστοιχα καταλήγουμε σε άτοπο..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης