3 πρώτοι

Xriiiiistos · #1

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών p,q,s

που επαληθεύουν $p^{3}-p^{2}-q^{2}-s^{2}=0$

Ορέστης Λιγνός · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 6:16 pm
Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών που επαληθεύουν $p^{3}-p^{2}-q^{2}-s^{2}=0$

Αν $p,q,s \neq 3$ , τότε $p^2, q^2, s^2 \equiv 1 \pmod 3$ . επομένως, $p^3=p^2+q^2+s^2 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow p=3$ , άτοπο.

Επομένως, p=3

ή

.

Αν

, τότε $q^2+s^2=18 \Rightarrow p,s \leqslant 4 \Rightarrow (p,s)=(3,3)$ . Μία λύση, είναι λοιπόν η (p,q,s)=(3,3,3)

.

Αν

, τότε

. Αν $p=2 \Rightarrow s^2=-5<0$ , άτοπο. Επίσης, αν $s=2 \Rightarrow p^3=p^2+15 \Rightarrow 15=p^2(p-1) \geqslant 3^2(3-1)>15$ , άτοπο.

Έστω λοιπόν p,s>2

. Με $\pmod 4$ , είναι $p^3=p^2+q^2+s^3 \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow p \equiv 3 \pmod 4$ .

Επίσης, με $\pmod p \Rightarrow p \mid s^2+3^2$ , και αφού $p \equiv 3 \pmod 4$ , από γνωστό Λήμμα, είναι $p \mid s, p \mid 3 \Rightarrow p=s=3$ .

Ξανά λοιπόν προκύπτει η λύση (p,q,s)=(3,3,3)

.

Τέλος, στην περίπτωση s=3

, προκύπτει η ίδια λύση.

Τελικά, η (p,q,s)=(3,3,3)

είναι η μοναδική λύση.

3 πρώτοι

3 πρώτοι

Re: 3 πρώτοι

Μέλη σε σύνδεση