3 πρώτοι

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

3 πρώτοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Οκτ 30, 2018 6:16 pm

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών p,q,s που επαληθεύουν p^{3}-p^{2}-q^{2}-s^{2}=0



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: 3 πρώτοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Οκτ 30, 2018 10:46 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Τρί Οκτ 30, 2018 6:16 pm
Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών p,q,s που επαληθεύουν p^{3}-p^{2}-q^{2}-s^{2}=0
Αν p,q,s \neq 3, τότε p^2, q^2, s^2 \equiv 1 \pmod 3. επομένως, p^3=p^2+q^2+s^2 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow p=3, άτοπο.

Επομένως, p=3 ή q=3 ή s=3.

Αν p=3, τότε q^2+s^2=18 \Rightarrow p,s \leqslant 4 \Rightarrow (p,s)=(3,3). Μία λύση, είναι λοιπόν η (p,q,s)=(3,3,3).

Αν q=3, τότε p^3=p^2+s^2+9. Αν p=2 \Rightarrow s^2=-5<0, άτοπο. Επίσης, αν s=2 \Rightarrow p^3=p^2+15 \Rightarrow 15=p^2(p-1) \geqslant 3^2(3-1)>15, άτοπο.

Έστω λοιπόν p,s>2. Με \pmod 4, είναι p^3=p^2+q^2+s^3 \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow p \equiv 3 \pmod 4.

Επίσης, με \pmod p \Rightarrow p \mid s^2+3^2, και αφού p \equiv 3 \pmod 4, από γνωστό Λήμμα, είναι p \mid s, p \mid 3 \Rightarrow p=s=3.

Ξανά λοιπόν προκύπτει η λύση (p,q,s)=(3,3,3).

Τέλος, στην περίπτωση s=3, προκύπτει η ίδια λύση.

Τελικά, η (p,q,s)=(3,3,3) είναι η μοναδική λύση.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης