Έυρεση πρώτων!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am

Έυρεση πρώτων!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Δευ Ιουν 18, 2018 1:55 am

Βρείτε όλους τους πρώτους \displaystyle{p,q} ώστε ο αριθμός \displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q}  \right )}{pq}} να είναι ακέραιος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Έυρεση πρώτων!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιουν 18, 2018 10:46 am

Υποθέτουμε ότι p \leqslant q.

Επειδή p|(5^p-2^p)(5^q-2^q) τότε p|(5^p-2^p) ή p|(5^q - 2^q).

Στην πρώτη περίπτωση, επειδή 5^p - 2^p \equiv 5-2 \equiv 3 \bmod p, πρέπει p=3. Στην δεύτερη περίπτωση, γράφουμε t = (p+1)/2 (προφανώς p \neq 2) και παρατηρούμε ότι (5d)^q \equiv 1 \bmod p. Έστω r = \mathrm{ord}_p(5d). Τότε r|(p-1) και r|q. Τότε r=1 ή r=q με το δεύτερο να απορρίπτεται αφού τότε θα είχαμε q|(p-1). Όμως υποθέσαμε ότι q \geqslant p. Άρα 5d \equiv 1 \bmod p, δηλαδή 5(p+1) \equiv 2 \bmod p που δίνει 5 \equiv 2 \bmod p και άρα p=3.

Σε κάθε περίπτωση καταλήξαμε στο p=3. Τότε έχουμε q|39(5^q-2^q). Άρα q|39 ή q|5^q-2^q. Η πρώτη περίπτωση δίνει q=3 ή q=13 και η δεύτερη δίνει q=3.

Άρα τα μόνα ζεύγη που ικανοποιούν είναι τα (3,3),(3,13),(13,3).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης