Λύσεις στους ρητούς

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am

Λύσεις στους ρητούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Δευ Ιουν 18, 2018 1:38 am

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: \displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left (x+y+z\right )+5=0} δεν έχει λύσεις στους ρητούς.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6171
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Λύσεις στους ρητούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιουν 18, 2018 7:03 am

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle{(2x+3)^2+(2y+3)^2+(2z+3)^2=7}

άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση \displaystyle{X^2+Y^2+Z^2=7} δεν έχει λύση στους ρητούς, δηλαδή ότι η εξίσωση

\displaystyle{a^2+b^2+c^2=7d^2,~d\ne 0} δεν έχει λύση στους ακεραίους.

Αυτό γίνεται δουλεύοντας \displaystyle{\mod 16,} δεδομένου ότι κάθε τετράγωνο είναι \displaystyle{\equiv 0,1,4,9\mod 16.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης