Διαιρετότητα

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Number
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Απρ 24, 2018 7:53 pm

Διαιρετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Number » Τρί Απρ 24, 2018 8:06 pm

ΑΝ a,b\in N και 9|a^{2}+ab+b^{2}. Να δείξετε ότι 3|a και 3|b.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11490
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαιρετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 24, 2018 8:45 pm

Number έγραψε:
Τρί Απρ 24, 2018 8:06 pm
ΑΝ a,b\in N και 9|a^{2}+ab+b^{2}. Να δείξετε ότι 3|a και 3|b.
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Ελπίζω η παραπάνω να μην είναι άσκηση από μαθήματα που παρακολουθείς.

Επειδή η άσκηση υπήρχε (ίδια ή πολλή παρόμοια) στο Σχολικό βιβλίο και είναι αρκετά γνωστή, θα
δώσω μόνο υπόδειξη:

Εξέτασε χωριστά όλους τους συνδυασμούς όπου τα a,b αφήνουν υπόλοιπο 0,1,2 όταν
διαιρεθούν με το 3. Χρησιμοποιώντας συμμετρίες μπορείς να γλυτώσεις αρκετό κόπο,
χωρίς να εξετάσεις 3\times 3=9 περιπτώσεις.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Διαιρετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am

Έχουμε 9\mid (a-b)^2+3ab (1), άρα 3\mid (a-b)^2 οπότε 3\mid a-b (2) συνεπώς 9\mid (a-b)^2, και λόγω της (1) θα έχουμε 9\mid 3ab οπότε 3\mid a ή 3\mid b και από την (2) αν διαιρεί τον έναν, διαιρεί και τον άλλο.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης