Μέγιστη τιμή ακεραίου

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Μέγιστη τιμή ακεραίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Δεκ 29, 2017 8:35 pm

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου n για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\lfloor \sqrt{i}\rfloor} είναι πρώτος.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη τιμή ακεραίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Δεκ 30, 2017 1:04 am

Ωραία άσκηση!

Για κάθε n\in\mathbb{N} βρίσκουμε a ώστε a^2\leq n<(a+1)^2.

Τότε n=a^2+r με 0\leq r < 2a+1

Είναι

\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^n\left[\sqrt{i}\right] &=\sum_{i=1}^{a^2-1}\left[\sqrt{i}\right] + \sum_{i=a^2}^{a^2+r}\left[\sqrt{i}\right] =\sum_{i=1}^{a-1}\sum_{k=i^2}^{i^2+2i}\left[\sqrt{i}\right] +(r+1)a \\ &= \sum_{i=1}^{a-1} i(2i+1) + ra + a = \sum_{i=1}^{a-1} 2i^2 + \sum_{i=1}^{a-1} i +ra+a \\ &= 2\dfrac{(a-1)a(2a-1)}{6} + \dfrac{(a-1)a}{2} +ra+a = \dfrac{a(4a^2-3a+5)}{6}+ra\end{aligned}

Θέλουμε λοιπόν να βρούμε τους μεγαλύτερους αριθμούς a,r ώστε να υπάρχει πρώτος p με την ιδιότητα \dfrac{a(4a^2-3a+5)}{6}+ra = p

Όμως τότε παίρνουμε a(4a^2-3a+5)+6ra=6p απ' όπου a|6p κι έτσι a\in\{1,2,3,6,p,2p,3p,6p\} (οι περιπτώσεις ο πρώτος p να είναι μικρότερος του 6 εύκολα απορρίπτονται καθώς είτε δεν οδηγούν σε λύση είτε προκύπτουν αριθμοί a,r μικρότεροι από τους παρακάτω).

Όμως είναι εύκολο να αποκλείσουμε τις περιπτώσεις p,2p,3p,6p (καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια με αρνητική διακρίνουσα).

Για a=6 παίρνουμε p=131+6r με r<13. Για r=12 ο αριθμός 131+6\cdot12 = 203 δεν είναι πρώτος ενώ για r=11 ο αριθμός 131+6\cdot 11=197 είναι πρώτος.

Συνεπώς η μεγαλύτερη τιμή του n για την οποία ο αριθμός \displaystyle\sum_{i=1}^n\left[\sqrt{i}\right] είναι πρώτος είναι ο \boxed{n=47}.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης