Εκθετική για γερά μυαλιά

harrisp · #1

Να βρεθούν ολα τα ζεύγη θετικών ακεραίων τέτοια ώστε:

$a^{b^2}=b^a$

Datis-Kalali · #2

Αν $a=p_1^{x_1}$ \displaystyle{...p_k^{x_k}

b=p_1^{y_1}...p_k^{y_k}

\Rightarrow x_i b^2=y_i a <strong class="text-strong">Περίπτωση 1</strong>

b^2 \ge a \Rightarrow a \vert b \Rightarrow b=ma \Rightarrow a^{m^{2}a}=ma \Rightarrow a^{m^{2}a-1}=m

a=1 \Rightarrow b=1

a\ge 2 \Rightarrow a^{m^{2}a-1} \ge 2^{2m^{2}-1} >m <strong class="text-strong">Περίπτωση 2</strong>

a^2 \le b \Rightarrow b \vert a \Rightarrow a=mb \Rightarrow m^b =y^{m-b}

m=p_1^{c_1}} $...p_k^{c_k}\Rightarrow c_i b= x_i(m-b) \Rightarrow b\vert m \Rightarrow b=ml \Rightarrow l =b^{l-2} \Rightarrow b \le 4$
$\Rightarrow b=2 , b=3$
Aν $b=2 \Rightarrow a=16$
Aν $b=3 \Rightarrow a=27$
Αρα $(a,b) \in { (1,1) , (16,2) , (27,3)}$

#3

Για την ιστορία, πρόκειται για το 5ο θέμα της IMO 1997 στην Αργεντινή

Αλέξανδρος

Εκθετική για γερά μυαλιά

Εκθετική για γερά μυαλιά

Re: Εκθετική για γερά μυαλιά

Re: Εκθετική για γερά μυαλιά

Μέλη σε σύνδεση