Δύσκολη Εκθετική

harrisp · #1

Να λύσετε στους θετ. ακεραίους την εξίσωση:

x^yy^x=(x+y)^z

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Μια προσπάθεια...

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως $x\geq y$ .

Έχουμε ότι $(x+y)^z=x^y\cdot y^x\leq x^{x+y}<(x+y)^{x+y}$ , άρα z<x+y

Ακόμα $x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y$ , ενώ $(x+y)^z\equiv x^z \mod y$ , συνεπώς διακρίνουμε

περιπτώσεις.

1) x=mk

και

, όπου

και

θετικοί ακέραιοι, αλλά (k,l)=1

Έχουμε: $(mk)^{ml}\cdot (ml)^{mk}=m^{m(k+l)}(l^{mk}\cdot k^{ml})=m^z(l+k)^z$ $\Leftrightarrow m^{m(k+l)-z}(l^{mk}\cdot k^{ml})=(l+k)^z$

Όμως z<x+y=mk+ml

, άρα $m^{m(k+l)-z}\geq 1$ και $(l^{mk}\cdot k^{ml})|(l+k)^z$ , που είναι άτοπο, καθώς (l,k)=1

2)

, δηλαδή

, με

θετικό ακέραιο.

Αντικαθιστώντας και μετά από λίγες πράξεις παίρνουμε ότι: $y^{y+ay-z}\cdot a^y=(a+1)^z$ .

Επειδή z<x+y=ay+y

, ισχύει ότι $y^{y+ay-z}\geq 1$ , άρα a^y|(a+1)^z

, το οποίο όμως ισχύει μόνο αν a=1

, καθώς

. Συνεπώς

.

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση, προκύπτει ότι $x^{2x}=(2x)^z\Leftrightarrow x^{2x-z}=2^z$ . Συνεπώς x=2^l

θετικός ακέραιος.

Έχουμε: $2^{l(2^{l+1}-z)}=2^z\Rightarrow l(2^{l+1}-z)=z\Rightarrow z(l+1)=l\cdot 2^{l+1}$ , επομένως z=nl

, όπου

θετικός ακέραιος, άρα έχουμε πως $n(l+1)=2^{l+1}$ . Συνεπώς n=2^k

και

, όπου

και

θετικοί ακέραιοι.

Έχουμε: $2^{k+m}=2^{2^m}\Rightarrow k+m=2^m\Rightarrow k=2^m-m$ .

Δηλαδή $z=2^{2^m-m}\cdot l=2^{2^m-m}\cdot (2^m-1)=2^{2^m}-2^{2^m-m}$

Συνοψίζοντας λύσεις είναι $(x, y, z)=(2^{2^m-1}, 2^{2^m-1}, 2^{2^m}-2^{2^m-m})$ , όπου

θετικός ακέραιος

edit: Έκανα μια διόρθωση, ελπίζω να είναι σωστή...

JimNt. · #3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια προσπάθεια...

....

Ακόμα $x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y$ , ενώ $(x+y)^z\equiv x^z \mod y$ , συνεπώς , δηλαδή , με θετικό ακέραιο.

Μπορεί να κάνω λάθος αλλά το ότι ισχύει y|x^z

δεν συνεπάγεται απαραίτητα y|x

. π.χ

harrisp · #4

Να σημειώσω οτι το παραπάνω ισχύει αν ο

ειναι πρωτος.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια προσπάθεια...

....

Ακόμα $x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y$ , ενώ $(x+y)^z\equiv x^z \mod y$ , συνεπώς , δηλαδή , με θετικό ακέραιο.

Μπορεί να κάνω λάθος αλλά το ότι ισχύει δεν συνεπάγεται απαραίτητα . π.χ

Χρόνια πολλά και Καλά Χριστούγεννα σε όλα τα μέλη του

!

Έκανα μια προσπάθεια να την σώσω, ελπίζω να είναι σωστή...

harrisp · #6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια προσπάθεια...

....

Ακόμα $x^y\cdot y^x\equiv 0 \mod y$ , ενώ $(x+y)^z\equiv x^z \mod y$ , συνεπώς , δηλαδή , με θετικό ακέραιο.

Μπορεί να κάνω λάθος αλλά το ότι ισχύει δεν συνεπάγεται απαραίτητα . π.χ
Χρόνια πολλά και Καλά Χριστούγεννα σε όλα τα μέλη του !

Έκανα μια προσπάθεια να την σώσω, ελπίζω να είναι σωστή...

Διονύση καλές Γιορτές

. Η λυση ειναι ολοσωστη αν δεν μου εχει ξεφύγει κατι. Η βασική ιδέα στην λυση μου (φαίνεται και στην δικη σου) ειναι να θεωρήσουμε d τον ΜΚΔ( x,y)

Δύσκολη Εκθετική

Δύσκολη Εκθετική

Re: Δύσκολη Εκθετική

Re: Δύσκολη Εκθετική

Re: Δύσκολη Εκθετική

Re: Δύσκολη Εκθετική

Re: Δύσκολη Εκθετική

Μέλη σε σύνδεση