Εκθετική

harrisp · #1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

2^x3^y+1=7^z

Ορέστης Λιγνός · #2

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

Γεια σου Χάρη!

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

1) x =1

Η εξίσωση γράφεται $2 \cdot 3^y+1=7^z$ .

Προφανής λύση $\boxed{(x,y,z)=(1,1,1)}$ .

Αν $y \geq 2$ , με $(\bmod9)$ έχουμε z=3a

και η εξίσωση γράφεται

$(7^a-1)(7^{2a}+7^a+1)=2 \cdot 3^y$ , άρα $7^a-1=2 \cdot 3^k, \,\, (7^a)^2+7^a+1=3^l$ .

Είναι τώρα $3^l-4 \cdot 9^k=7^{2a}+7^a+1-(7^a-1)^2=3 \cdot 7^a \Leftrightarrow 3 \cdot 7^a=3^l-4 \cdot 9^k$ , συνεπώς l <2

(αλλιώς θα είχαμε $9 / 3\cdot 7^a$ , αδύνατο).

Αν l=1

τότε

άτοπο.

Αν l=0

,

, πάλι άτοπο.

2) $x \geq 2$ .

Τότε, $7^z \equiv 1(\bmod4)$ , οπότε z=2k

.

Η εξίσωση γράφεται (7^k-1)(7^k+1)=2^x3^y

.

Άρα, $7^k-1=2^a3^b, \, 7^k+1=2^c \cdot 3^d$ .

Προσθέτοντας έχουμε $2 \cdot 7^k=2^a \cdot 3^b+2^c \cdot 3^d$ .

Αν $b,d \neq 0$ , $3/2 \cdot 7^k$ , άτοπο.

α) Αν b=0

, τότε $7^k-1=2^a \Leftrightarrow 3/2^a$ , άτοπο.

β) Αν d=0

, τότε

, άρα $k=1, \, c=3$ (από Catalan), και τελικά $\boxed{(x,y,z)=(4,1,2)}$ .

harrisp · #3

Πολύ ωραία Ορέστη!!!

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem που οδηγεί σε μια γρήγορη λύση.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #4

harrisp έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 18, 2016 4:40 pm
Πολύ ωραία Ορέστη!!!

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem που οδηγεί σε μια γρήγορη λύση.

Καλησπέρα . Μια λύση με τη χρήση του θεωρήματος Zsigmondy.

Αν z=1

, τότε

Αν

, τότε

Για

από θεώρημα Zsigmondy

υπάρχει πρώτος

διάφορος του 2,3

, ώστε
$p|7^{z}-1$ και να μη διαίρει κανένα αριθμό της μορφής $7^{k}-1$ με k<z

,άτοπο αφού οι μόνοι πρώτοι διαιρέτης του $7^{z}-1$ είναι οι 2,3

.

Εκθετική

Εκθετική

Re: Εκθετική

Re: Εκθετική

Re: Εκθετική

Μέλη σε σύνδεση