Διαιρετότητα
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Διαιρετότητα
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους τέτοιους ώστε ο αριθμός να διαιρείται από τον
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διαιρετότητα
Πολύ ωραία άσκηση!
Για έχω λύσεις. Θα αποδείξω ότι αν υπάρχουν λύσεις για τοτε ο είναι πρώτος.
Έστω οτι έχω λύση με σύνθετο και .
Αφού είναι σύνθετος θα έχει τουλάχιστον ένα μη μοναδιαίο διαιρέτη . Είναι (αφού ) άρα . Είναι ,οπότε ο είναι άρτιος, άτοπο αφού περιττός. Άρα πρώτος.
Εύκολα προκύπτει ότι .
Πολλαπλασιάζοντας και τα 2 μέλη με έχω
Απο το θεώρημα Wilson όμως είναι άρα είναι
Για να ισχύει το ζητούμενο όμως πρέπει.
Άρα
Παίρνω τώρα 2 περιπτώσεις:
i)
ii)
Άρα η αρχική συνθήκη ικανοποιείται για .
Για έχω λύσεις. Θα αποδείξω ότι αν υπάρχουν λύσεις για τοτε ο είναι πρώτος.
Έστω οτι έχω λύση με σύνθετο και .
Αφού είναι σύνθετος θα έχει τουλάχιστον ένα μη μοναδιαίο διαιρέτη . Είναι (αφού ) άρα . Είναι ,οπότε ο είναι άρτιος, άτοπο αφού περιττός. Άρα πρώτος.
Εύκολα προκύπτει ότι .
Πολλαπλασιάζοντας και τα 2 μέλη με έχω
Απο το θεώρημα Wilson όμως είναι άρα είναι
Για να ισχύει το ζητούμενο όμως πρέπει.
Άρα
Παίρνω τώρα 2 περιπτώσεις:
i)
ii)
Άρα η αρχική συνθήκη ικανοποιείται για .
Πέτρος Ντούνης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες