mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 13, 2025 6:08 pm**

Εστω τρίγωνο ABC

και

σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του.Να δείξετε ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων KAB,KBC,KAC

σχηματίζουν τρίγωνο που έχει εμβαδό ίσο με του αρχικού τριγώνου.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 16, 2025 9:00 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 6:08 pm
Εστω τρίγωνο και σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του.Να δείξετε ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων
σχηματίζουν τρίγωνο που έχει εμβαδό ίσο με του αρχικού τριγώνου.

Θα δείξω κάτι καλύτερο, ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Έστω A_1, B_1, C_1

τα ορθόκεντρα

των τριγώνων KBC, KAC, KAB

αντίστοιχα. Τότε:

: Ίσα εμβαδά.ΣΠ.png (26.41 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

$\displaystyle {C_1}B \bot AK,C{B_1} \bot AK \Rightarrow {C_1}B//C{B_1}$ και επειδή οι γωνίες $A\widehat BK, A\widehat CK$ είναι παραπληρωματικές, θα είναι

$\displaystyle {C_1}B = 2R|\cos (ABK)| = 2R|\cos (ACK)| = C{B_1}.$ Ομοίως AC_1//=A_1C, AB_1//=A_1B.

Έτσι,

τα ABA_1B_1, ACA_1C_1, BCB_1C_1

είναι παραλληλόγραμμα και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 17, 2025 4:57 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 6:08 pm
Εστω τρίγωνο και σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του.Να δείξετε ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων
σχηματίζουν τρίγωνο που έχει εμβαδό ίσο με του αρχικού τριγώνου.

Eστω

τα ορθόκεντρα των τριγώνων KAB,KBC,KAC,ABC

αντίστοιχα.

Εφόσον $AH1\perp KB,H2C\perp KB$ θα είναι H1A//H2C

Στα ορθογώνια τρίγωνα

$AL2K,M1KC,L1AB,BM2C,\hat{L1BA}=\hat{T2AK}=\hat{M1KC}=\hat{\hat{L2KA}}=\varrho$

και από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο

$AKCB ,\hat{L1AB}=\hat{KCB}=90-\varrho ,\hat{AKT2}=\hat{ABC}=90-\omega$

Στο τετράπλευρο $JL3I\Theta 3,$ είναι εγγράψιμο γιατί

$\hat{L3H1I}=\hat{\Theta 3BM3}=\sigma , \hat{L3}=90\Rightarrow \hat{\Theta 3}=90\Rightarrow H1H2//AC,H1H2=AC$

Οπου

$J=AL3\bigcap BP3,I=BM3\bigcap \Theta 3C$

Είναι $\hat{AH3H1}=\hat{H3AK}=\omega$

Αρα το τετράπλευρο H1AKH3

και ομοίως το

$KT2\Pi 1H3,\hat{T2K\Pi 1}=\varrho =\hat{\Pi 1H3T2}\Rightarrow M1\Pi 1\perp H1H3,H1//H3,H1H3=BC$

και από το παραλληλόγραμμο ABH2H3,AB=H2H3

Οπότε τα τρίγωνα ABC=H1H2H3

με πλευρές

παράλληλες και ίσες

mathematica.gr

Ισα εμβαδά

Ισα εμβαδά

Re: Ισα εμβαδά

Re: Ισα εμβαδά