mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 06, 2025 3:02 pm**

: 2025.02.06 Lemoine in 45 or 135 triangle mathematica.jpg (27.6 KiB) Προβλήθηκε 1836 φορές

Δείξτε ότι το σημείο Lemoine

, τριγώνου ABC

, με $\hat A=45^{\circ}$ ,

συμπίπτει με το κέντρο του τετραγώνου που εγγράφεται σε αυτό,

και αντίστροφα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 07, 2025 10:59 am**

: lemoine.png (45.73 KiB) Προβλήθηκε 1748 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και

το εμβαδόν του τριγώνου ABC

.

Είναι $2E=2(AKM)+2(KBCM)=t(\upsilon_a-t)+t(a+t)\Rightarrow \boxed{t=\dfrac{2aE}{a^2+2E}}$

Το σημείο

είναι

αν και μόνο αν $\boxed{\dfrac{LQ}{a}=\dfrac{LT}{b}=\dfrac{LS}{c}}$

Αν το κέντρο του τετραγώνου είναι το σημείο του τότε θα είναι:

$LQ=\dfrac{t}{2}=\dfrac{Ea}{a^2+2E}$ , $LT\dfrac{Ec}{a^2+2E}$ , $LS=\dfrac{Eb}{a^2+2E}$

Όμως ισχύει

$LQ\cdot a+LT \cdot c+ LS \cdot b=2E}$

Άρα

$a^2+b^2+c^2=2a^2+4E \Rightarrow b^2+c^2-a^2=4E \Rightarrow 2bc\cdot cosA=2bc \cdot sinA \Rightarrow A=45^o$

Αντίστροφα,

Αν η γωνία είναι θα δείξουμε ότι το κέντρο του τετραγώνου είναι το σημείο του

Ισχύει $\phi=C, \omega =B$ οπότε τα τρίγωνα LTK, ADC

είναι όμοια, όπως και τα LSM, ADB

.

Άρα $\dfrac{LT}{AD}=\dfrac{LK}{AC}$ και $\dfrac{LS}{AD}=\dfrac{LM}{AB}$

Επίσης ισχύει: $LQ=\dfrac{t}{2}$

Εύκολα τώρα από τις τελευταίες ισότητες έχουμε: $\dfrac{LQ}{a}=\dfrac{LT}{b}=\dfrac{LS}{c}$ , δηλαδή το ζητούμενο.