Βάζω και τη δική μου λύση.
Γιώργο, σ ευχαριστώ!
1ο σκέλος-αρχικό πρόβλημα.
Έχουμε
και αφού
, έχουμε
άρα το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο. Έστω
. Το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, άρα
άρα τα σημεία
είναι συνευθειακά. Θεωρούμε το μέσο
του
και ως γνωστό, η ευθεία
διέρχεται από το αντιδιαμετρικό
του
ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του εγγράψιμου τετραπλεύρου
(αφού
).
Είναι
άρα το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο. Επιπλέον
άρα το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο. Οι ευθείες
συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων
έστω
Η
είναι εσωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο
και η
εξωτερική, άρα η δέσμη
είναι αρμονική, επομένως το
είναι το αρμονικό συζυγές του
ως προς τα
και ταυτίζεται με το αρμονικό συζυγές του
ως προς τα
άρα τα σημεία
είναι συνευθειακά. Αφού
τα σημεία
είναι ομοκυκλικά, άρα
άρα το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο και συνεπώς το
είναι το σημείο
Miquel του τριγώνου
ως προς τα σημεία
άρα το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο. Επομένως
και
και αφού το
είναι το κέντρο του κύκλου
και
η
εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
άρα
Φέρνουμε την εφαπτομένη στο
του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
και έστω ένα τυχαίο σημείο της
άρα
άρα η ευθεία
εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
συνεπώς οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων
και
δέχονται στο κοινό τους σημείο
κοινή εφαπτομένη, άρα εφάπτονται στο σημείο
2ο σκέλος- επιπρόσθετο ερώτημα.
Έχουμε
Επιπλέον, το
είναι το περίκεντρο του τριγώνου
άρα
Θεωρούμε το μέσο
του μη κυρτού τόξου της χορδής
του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
άρα
είναι το περίκεντρο του τριγώνου
και αφού οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων
και
εφάπτονται, έπεται ότι τα σημεία
και το περίκεντρο του τριγώνου
είναι συνευθειακά.
Υ.Γ Η λύση του Γιώργου (Κοτσάλη) είναι εξαιρετική. Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί και με bashing, αλλά εμείς είμαστε fun της γεωμετρίας και σε όποιον αρέσει.