Κατασκευή οξυγώνιου τριγώνου

#1

Να κατασκευάσετε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

όταν δίνονται: η πλευρά BC=a,

η ακτίνα

του περιγεγραμμένου κύκλου και η περίμετρος

του ορθικού τριγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 14, 2023 2:14 pm
Να κατασκευάσετε οξυγώνιο τρίγωνο όταν δίνονται: η πλευρά η ακτίνα

του περιγεγραμμένου κύκλου και η περίμετρος του ορθικού τριγώνου.

Ανάλυση

: Κατασκευή οξυγωνίου_ανάλυση 1.png (23.32 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ας δούμε τι έχουμε σταθερά . Πέραν των $a\,,\,R\,,\,2k$ σταθερά είναι :

Ο κύκλος $\left( {O,R} \right)$ του $\vartriangle ABC$ , η γωνία

, η απόσταση $\,\,d\,\,$ , του

από την

και άλλα . Θεωρώ π.χ. B > C

Ας είναι $D,\,E\,,\,Z$ τα ίχνη των υψών από τα $A\,,\,B\,,\,C\,$ . Σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ το άθροισμα , DE + EZ + ZD = 2k

δίδεται από τη σχέση :

$2k = 4R\left( {\sin B\sin C} \right)\sin A = 2R\left( {2\sin B\sin C} \right)\dfrac{a}{{2R}} = a\left( {2\sin B\sin C} \right)\,\,\left( 1 \right)$

Αλλά : $2\sin B\sin C = \cos \left( {B - C} \right) - \cos \left( {B + C} \right) = \cos \left( {B - C} \right) + \cos A$ και έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει.

$\boxed{\cos \left( {B - C} \right) = \dfrac{{2k}}{a} - \cos A = \dfrac{{2k}}{a} - \dfrac{d}{R}}$

Τώρα θέλουμε να κατασκευάσουμε οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ από τα : $a\,\,,\,\,R\,\,,\,\,B - C = \theta$ .

Τώρα όμως μπορούμε να κατασκευάσουμε την ημιευθεία

διότι:

$\left\{ \begin{gathered} B + C = 180^\circ - A \hfill \\ B - C = \theta \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{B = 90^\circ + \dfrac{{\theta - A}}{2}}$ .

(Αν B < C

θα πάρουμε $\theta = C - B$ )

S.E.Louridas · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 14, 2023 2:14 pm
Να κατασκευάσετε οξυγώνιο τρίγωνο όταν δίνονται: η πλευρά η ακτίνα
του περιγεγραμμένου κύκλου και η περίμετρος του ορθικού τριγώνου.

Μετά από την άριστη παρέμβαση του Νίκου και μόνο για λόγους πλουραλισμού έχουμε επίσης:

Αν

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και A'B'C'

αντιστοίχως το ορθικό,

παίρνουμε: $\left( {ABC} \right) = \left( {OB'AC'} \right) + \left( {OC'BA'} \right) + \left( {OA'CB'} \right) = kR.$

Αν τώρα h_a

το ύψος που αντιστοιχίζεται στη πλευρά

, τότε εύκολα έχουμε: $\displaystyle{{h_a} = \frac{{2kR}}{a}.}$

Συνεπώς η κορυφή

θα κινείται σε σταθερή παράλληλη στην

, οπότε η κορυφή αυτή προσδιορίζεται
ως τομή της σταθερής αυτής παράλληλης και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Λάβαμε βέβαια υπόψη ότι κάθε ακτίνα

είναι κάθετη στην αντίστοιχη πλευρά B' C'

του ορθικού
και βέβαια ότι το ορθικό οξυγώνιου τριγώνου ευρίσκεται όλο εντός του τριγώνου.

: geogebra-export.png (314.29 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές

Κατασκευή οξυγώνιου τριγώνου

Κατασκευή οξυγώνιου τριγώνου

Re: Κατασκευή οξυγώνιου τριγώνου

Re: Κατασκευή οξυγώνιου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση