Από σταθερό σημείο και αυτός.

#1

Με αφορμή αυτήν.

: Από σταθερό σημείο και αυτός..png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

και ένα μεταβλητό σημείο

της πλευράς BC.

Επί των

θεωρώ τα σημεία P, T

αντίστοιχα, ώστε MP||AC

και $MT\bot AC.$ Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του APT

διέρχεται από σταθερό σημείο.

S.E.Louridas · #2

Εν τάχει.
Έχουμε $AT = kMT,\,\;k \in {\Cal R}\,ct.,$ $AT = b - \ell MT,\;\ell \in {\Cal R},\,ct.$
Τελικά $\ell AP + kAT = kb,\;ct,$ οπότε από άμεση εφαρμογή του γενικού θεωρήματος MacLaurin παίρνουμε το ζητούμενο.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 25, 2022 12:47 pm
Με αφορμή αυτήν. Από σταθερό σημείο και αυτός..png
Δίνεται τρίγωνο και ένα μεταβλητό σημείο της πλευράς Επί των θεωρώ τα σημεία

αντίστοιχα, ώστε και $MT\bot AC.$ Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από σταθερό σημείο.

Έστω

το ύψος του $\vartriangle ABC$ . Προφανώς αυτό είναι σταθερό. Σταθερός είναι και ο κύκλος $\left( N \right)$ , διαμέτρου $\overline {ANB}$ .

: Απο σταθερό σημείο κι αυτός_new.png (28.38 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Η από το

, σταθερή παράλληλη προς την

τέμνει τον κύκλο $\left( N \right)$ στο σταθερό σημείο

και άρα η ευθεία

είναι σταθερή .

Ο κύκλος $\left( N \right)$ είναι μια οριακή θέση του κύκλου $\left( O \right)$ που διέρχεται από τα A,P,T

και άρα το κέντρο του θα ανήκει πάντα στην σταθερή ευθεία $\left( {FN} \right)$ .

Ας είναι

το άλλο (εκτός του

) κοινό τους σημείο , αυτό θα είναι το σταθερό συμμετρικό του

ως προς την

.

S.E.Louridas · #4

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 25, 2022 1:49 pm
Εν τάχει μία διαπραγμάτευση.

Έχουμε $AP = kMT,\,\;k \in {\Cal \R_{+ }^{\ast }}\,ct.,$ $AT = b - \ell MT,\;\ell \in {\Cal R_{+ }^{\ast }},\,ct.$
Τελικά $\ell AP + kAT = kb,\;ct,$ οπότε από άμεση εφαρμογή του γενικού θεωρήματος MacLaurin παίρνουμε το ζητούμενο.

edit: Διόρθωση στην αρχή από $AT = kMT,\,\;k \in {\Cal R_{+ }^{\ast }}\,ct.$ σε $AP= kMT,\,\;k \in {\Cal R_{+ }^{\ast }}\,ct.$

#5

Αφού ευχαριστήσω το Σωτήρη και το Νίκο για τις λύσεις τους, θα δώσω μία άλλη προσέγγιση,

η οποία ταιριάζει περισσότερο με τη διαπραγμάτευση του Νίκου.

: Από σταθερό σημείο κι αυτός.png (27.84 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει τον κύκλο στο

θα δείξω ότι το

είναι σταθερό. Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

και η

τον $(\omega)$ στο

Αλλά, $\displaystyle A\widehat SF = 90^\circ = A\widehat TF = M\widehat TC.$ Άρα τα M, T, F

είναι

συνευθειακά. Εξάλλου, $\displaystyle P\widehat FS = B\widehat AS = A\widehat ES \Rightarrow PF||AE \Rightarrow \frac{{BF}}{{BE}} = \frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} \Leftrightarrow MF||CE$

Άρα, $\displaystyle A\widehat CE = 90^\circ .$ Επομένως τα σημεία A, S, C, E

είναι ομοκυκλικά και το

ανήκει στον κύκλο που διέρχεται

από τα A, C

και εφάπτεται της

στο

Οπότε το

ως σημείο τομής δύο σταθερών κύκλων είναι σταθερό.

Από σταθερό σημείο και αυτός.

Από σταθερό σημείο και αυτός.

Re: Από σταθερό σημείο και αυτός.

Re: Από σταθερό σημείο και αυτός.

Re: Από σταθερό σημείο και αυτός.

Re: Από σταθερό σημείο και αυτός.

Μέλη σε σύνδεση